平價遠期隱含波動率
我是新來的。我想知道Bergomi Smile Dynamics IV第 2 頁提到的著名的 ATMF 隱含的 vol 近似值是什麼：$$ S_T = \frac{s_T}{6\sqrt{T}}. $$
我找不到任何關於此的參考。
讓$$ \ln\left(S_T/S_t\right) $$
有意思 $ \mu_\tau $ 和標準差 $ \sigma_\tau $ ， 在哪裡 $ \tau=T-t $ , 及其標準化形式的密度 $$ X= \frac{\ln(S_T/S_t)-\mu_\tau}{\sigma_\tau} $$
由 Gram-Charlier 展開近似
$$ f_X(x) = \phi(x) - \gamma_{1\tau} \frac{1}{3!} D^3 \phi(x) + \gamma_{2\tau} \frac{1}{4!} D^4 \phi(x), $$
和 $ \phi $ 是標準的正常密度和 $ \gamma_{1\tau} $ 和 $ \gamma_{2\tau} $ 是第三（偏度）和第四（峰度）累積量。
然後可以為帶有行使價的看漲期權定價 $ K $ 反對密度 $ f_X $ 然後通過 Black-Scholes 公式暗示標準差：
$$ \hat{\sigma}{K\tau} = \sigma\tau\left[1- \gamma_{1\tau} \frac{1}{3!} d_{K\tau} - \gamma_{2\tau} \frac{1}{4!} (1- d_{K\tau}^2) \right] $$
和
$$ d_{K\tau} = \frac{\ln(S_t/K)-r\tau +0.5\sigma_\tau^2}{\sigma_\tau}. $$
詳細的證明可以在這裡找到。
這反過來又給出：
$$ \frac{\partial \hat{\sigma}{K\tau}}{\partial \ln K}\bigg|{K=S_t\mathrm{e}^{rt}} = \gamma_{1\tau} \frac{1}{3!}. $$