B樣條：IV/Price中的凸性
我看到在罷工 IV 空間中插值時需要使用三次 B 樣條的理由是施加凸性約束以消除潛在的套利。
如果適合在執行價格空間中，我可以很容易地理解這個論點。但是是否有任何正式的證據證明行權 IV 空間中的凸性約束必然意味著行權價格空間中的凸性？
不，這是錯誤的。隱含波動率（來自市場價格）實際上不一定是凸的，但可能仍然沒有套利，各種股票都有很多這樣的例子。此外，保持凸性也不一定足夠。就隱含變異數而言 $ w(y)=\sigma^2 T $ 作為對數貨幣的函式 $ y=\ln\frac{K}{F} $ ，無蝴蝶套利約束變為： $$ 1 - \frac{y}{w}\frac{\partial w}{\partial y}
- \frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4}-\frac{1}{w}+\frac{y^2}{w^2}\right)\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)^2
- \frac{1}{2}\frac{\partial^{2} w}{\partial y^2} \geq 0 $$ 並且不像呼叫價格那樣是一個很好的線性約束。就隱含捲而言，表達式並沒有那麼不同，而且可讀性也較差。以上源於 Gatheral local vol 推導，在我的書中也有解釋。
保持隱含變異數的凸性意味著只有最後一項是正的，這並不能保證所有的都是正的。
看漲價格與行使價的保凸性插值是避免蝶形套利的重要因素。
Furthermore, note that such a B-spline will not be an exact interpolation, but a least-square fit, precisely because of the convexity constraint. Furthermore, you it won’t be perfect either, since the associated implied vol may look strange sometimes (see Peter Jackel paper “Clamping Down on Arbitrage”, or Le Floc’h and Oosterlee Model-Free Stochastic Collocation for an Arbitrage-Free Implied Volatility, Part II.