二元期權隱含波動率
如果報價超出任何可能波動的範圍，如何計算隱含波動率？例如2014 年 8 月 16 日到期的CBOE 期權的目前報價
Calls Last Sale Net Bid Ask Vol Open Int BSZ1416H1900-E 0.0 0.0 0.66 0.81 0 0 14 Aug 1900.00 BSZ1416T1900-E 0.0 0.0 0.20 0.32 0 0 BSZ1416H1950-E 0.0 0.0 *0.45 0.60* 0 0 14 Aug 1950.00 BSZ1416T1950-E 0.0 0.0 0.40 0.55 0 0 BSZ1416H2000-E 0.0 0.0 0.20 0.32 0 0 14 Aug 2000.00 BSZ1416T2000-E 0.0 0.0 0.67 0.82 0 0對於 BSZ1416H1950-E，買入價和賣出價均超出範圍。（無法上傳我創建的圖片，它顯示可達到的最大值為 0.4，波動率約為 50%。
通常供需、流動性都計入IV。你怎麼找到IV？處理此類事情以建構 vol 表面的機制是什麼？如何以類似控制變數的方式使用這些差異來估計未來某個時間的價格？謝謝。
您確定您使用的是正確的定價公式嗎？
對於付費的二進制（數字）呼叫 $ 1 $ ，當時的簡單布萊克-斯科爾斯價格 $ t=0 $ 是
$$ C_d = e^{-rT}N(d_2) $$ $$ d_2 = \frac{\text{ln}(F/K) - \frac1{2}\sigma^2T}{\sigma \sqrt{T}} $$ 在哪裡 $ N $ 是標準正態分佈函式， $ F=Se^{(r-q)T} $ 是遠期指數價格， $ S $ 是現貨指數價格， $ K $ 是執行價格， $ T $ 是到期時間和 $ \sigma $ 是隱含波動率。 以下是一些目前值
$$ S = 1942, r = 0.25%, q = 1.97%. $$ 對於 1950 年 8 月 14 日的電話
$$ K = 1950, T = 64 \ \text{days}=0.1752 \ \text{years} , $$ 並假設隱含波動率 $ \sigma = 12% $ , 二元贖回價格為 $ 0.43 $ .
因此，在目前隱含波動率條件下，您顯示的報價看起來是合理的。
關於尋找隱含波動率的一般問題，有兩個問題。（1）如何建立一個無套利定價模型，以正確匹配普通看漲期權和看跌期權的市場價格，以及（2）如何在新框架中為更奇特的期權（如二元期權）定價。
一般來說，觀察到的 SPX 指數期權的市場價格與簡單的 Black-Scholes 假設不一致——一個遵循幾何布朗運動且波動性恆定的標的。實際價格看起來像是非對數正態機率分佈下的預期——可能更偏斜。隱含波動率——使布萊克-斯科爾斯公式與市場價格相匹配的值——隨行使價和到期時間而變化。理論上，如果我們知道看漲期權的市場價格 $ C(S,t;K,T) $ 對於每一個可能的行使價 $ K $ 當指數價格為 $ S $ 有時 $ t $ ，然後對於給定的到期時間 $ T $ 我們可以找到隱含的機率密度函式為
$$ f(S) = e^{r(T-t)}\frac{\partial^2}{\partial K^2}C(S,t;K,T). $$ 在實踐中，沒有足夠的市場價格觀察來直接以有意義的方式使用這個公式——但它表明有更廣泛的隨機模型（具有更多的自由度）可用於生成匹配市場的無套利期權價格價格。一種更流行的方法是局部波動率模型，它假設基礎指數價格遵循以下形式的隨機過程
$$ dS_t=\mu S_t dt + \sigma(S_t)S_tdW_t $$ 在哪裡 $ W_t $ 是布朗運動和波動率 $ \sigma(\cdot) $ 不是一個常數，而是標的價格的確定性函式。有大量關於局部波動率模型的文獻表明如何校準函式 $ \sigma(\cdot) $ 以匹配市場價格。
對於二元期權，當普通看漲期權和看跌期權表現出隱含波動率偏斜時，應該使用哪種簡單的定價方法並不完全清楚。一種可能性是根據複製的普通期權組合來找到價格。如果二元期權支付 $ 1 $ 當指數高於行使價時 $ K $ 那麼理論上，它可以被複製，近似地使用呼叫傳播。我們會買一個號碼 $ 1/\delta $ 行使價的普通看漲期權 $ K $ 並以行使價賣出相同數量的看漲期權 $ K+\delta. $ 這樣
$$ C_d(S,t;K,T) \approx \frac1{\delta} \big[C(S,t;K,T)-C(S,t;K+\delta , T)\big] $$ 理想情況下，我們會 $ \delta $ 盡可能小，但在可用的罷工和將應用的最終槓桿方面存在實際限制。然而，這種複制模型表明了在存在波動率偏斜的情況下二元期權的定價方式。取極限為 $ \delta \rightarrow 0 $ 我們得到
$$ C_d(S,t;K,T) \approx \frac{\partial}{\partial K} C(S,t;K,T), $$ 這種關係表明如何在隱含波動率取決於行使價的框架（例如局部波動率）中提取與普通期權價格一致的二元期權價格。