Black Scholes SVJ 模型的隱含卷
在 SVJ 模型https://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_volatility_jump下，具有行使價 $K$和到期時間$T$的期權的 Black Scholes（對數正態）隱含波動率公式是什麼（假設現貨價格為1 美元）？
一般來說，任何歐式收益（例如歐式期權）都可以通過將收益與標的資產的對數收益密度相結合來定價。然而，SVJ 模型並沒有省略任何封閉形式的密度，因此我們無法推導出任何分析定價公式。但是，它確實具有封閉形式的特徵函式，可用於通過傅里葉逆變換恢復密度。這是傅立葉定價的前提。
對於歐式期權的定價，我們有一系列推導看漲價格的方法，但為簡潔起見，我們將使用劉易斯方法，其中傅里葉變換用對數價格的特徵函式表示。因此在利率不變$r$和股息收益率$q$的假設下，SVJ 模型下歐式期權的看漲價格可以通過以下公式找到： \begin{equation} C_{SVJ}(S,K,t, T) = Se^{-q(Tt)} - \frac{\sqrt{SK}e^{-\frac{(r+q)(Tt)}{2}}}{\pi} \int_0^\ infty \frac{Re\left(e^{iuk} \Phi(u-\frac{i}{2},t,T) \right)}{u^2+\frac{1}{4}}\ : du \end{equation} for $S$是時間$t$的現貨價格，K 是罷工$k=\log(S/K)+(rq)(Tt)$並且$T$是到期日。此外，$\Phi(\cdot)$是 SVJ 模型的標準化對數價格的特徵函式$X_T=\log(S_T/S_t)-(r+q)(Tt)$。現在，要找到 SVJ 模型的隱含波動率，您只需將 SVJ 模型的呼叫價格與 Black-Scholes 模型的呼叫價格等同起來： \begin{equation} C_{SVJ}(S,K,t,T) = C_{BS}(S,\sigma,K,t,T) \end{equation} 並求解$\sigma$. 這個問題沒有解析解，必須使用數值求解器來找到 SVJ 模型的隱含波動率表面。如果您按照 Lewis 方法計算 BS 看漲期權價格，那麼您可以減去兩邊的 Black-Scholes 看漲期權價格，這樣您就可以得到：
$${ \int_0^\infty \frac{Re\left(e^{iuk} \left[\Phi_{SVJ}(u-\frac{i}{2},t,T)-\Phi_{BS} (u-\frac{i}{2},t,T,\sigma)\right] \right)}{u^2+\frac{1}{4}}: du = 0,}$$
對於隱含波動率的方程，這可能是你能得到的最接近的東西。上述方程為我們提供了隱含波動率表面與標的股票過程特徵函式之間的簡單但隱含的關係。這也在Gatheral，波動性表面（第 60 頁左右）中進行了描述，他假設$r=q=0$。同樣，上述積分中唯一的未知值是$\sigma$，可以使用下面評論中指出的數值方法找到它。
我發現以下論文以某種方式回答了我的問題。<https://www.scaillet.ch/pdfs/asymptotics.pdf>