校準赫斯頓局部隨機波動率 (LSV) 模型
Heston 局部隨機波動率 (LSV) 模型具有以下動態： $$ dS_{t}=r S_{t} d t+L\left(S_{t}, t\right) \sqrt{V_{t}} S_{t} d W_{t}, $$ $$ d V_{t}=\kappa\left(\theta-V_{t}\right) d t+\eta \sqrt{V_{t}} d Z_{t}, $$ $$ d W_{t} d Z_{t}=\rho d t. $$ 槓桿函式 $ L\left(S_{t}, t\right) $ ，這確保 LSV 模型再現局部波動率模型的普通期權報價滿足方程 $$ L\left(s, t\right)=\frac{\sigma_{L V}(s, t)}{\sqrt{\mathbb{E}\left[V_{t} \mid S_{t}=s\right]}}. $$ 假設我們已經有一個表現良好的局部波動率表面，為了校準 Heston LSV 模型，應該（1）校準 Heston 模型和（2）校準槓桿函式 $ L\left(S_{t}, t\right) $ . 已經提出了幾種方法來校準 $ L\left(S_{t}, t\right) $ ，例如求解 Kolmogorov 前向 PDE 或 Markovian 投影方法。
例如，如Gatheral (p. 12) 中所示，我們知道局部變異數可以看作是瞬時變異數的條件期望 $$ \sigma^{2}{L V}(s, t)=\mathbb{E}\left[V{t} \mid S_{t}=s\right]. $$ 因此，是否可以說另一種校準槓桿函式的方法是取 LV 模型的局部波動率與純 Heston 模型產生的局部波動率之比？即 $$ L\left(s, t\right)=\frac{\sigma_{L V}(s, t)}{\sigma_{Heston , LV}(s, t)}. $$ 提前感謝您的回答！
在Heston LSV (HLSV) 動力學下，Gatheral 的等式為：
$$ \sigma_{LV}^{HLSV}(S_t,t) = \sqrt{E^{HSLV}\left[V_tL(S_t,t)^2 | S_t \right]} = L(S_t,t)\sqrt{E^{HSLV}\left[V_t | S_t \right]}, $$
作為 $ L(S_t,t) $ 是 $ \sigma(S_t) $ - 可測量，其中上標 $ HSLV $ 旨在提醒我們我們開始時的動力學是什麼（特別是聯合機率密度函式 $ (S_t,V_t) $ 需要計算條件期望 $ E\left[V_t | S_t \right] $ ).
在（純）赫斯頓 SV（HSV）動力學下（ $ L $ 設置為常數 $ 1 $ 在 HSLV 中），Gatheral 的平等是：
$$ \sigma_{LV}^{HSV}(S_t,t) = \sqrt{E^{HSV}\left[V_t| S_t \right]}. $$
如果兩者 $ \sigma_{LV}^{HLSV} $ 和 $ \sigma_{LV}^{HSV} $ 完美打擊市場局部波動， $ \sigma_{LV}^{mkt} $ ，通過 Dupire 公式從呼叫價格的市場連續體計算，那麼我們有：
$$ L(S_t,t)=\frac{\sqrt{E^{HSV}\left[V_t | S_t \right]}}{\sqrt{E^{HLSV}\left[V_t | S_t \right]}} = \frac{\sigma_{LV}^{HSV}(S_t, t)}{\sqrt{E^{HLSV}\left[V_t | S_t \right]}} \left(= \frac{\sigma_{LV}^{mkt}(S_t, t)}{\sqrt{E^{HLSV}\left[V_t | S_t \right]}}\right). $$
（當然，我們注意到，這兩種動力學具有非常不同的參數化豐富程度，並且校準的參數 $ \kappa, \theta, \eta, \rho $ 在這兩種模型中不會相同，因為它正是存在 $ L $ 在校準到相同的市場目標時會扭曲它們。）
如果
$$ \sigma_{LV}^{HSV} \not= \sigma_{LV}^{mkt} = \sigma_{LV}^{HLSV} , $$
上述關係失敗，但我們仍然有：
$$ L(S_t,t)=\frac{\sigma_{LV}^{mkt}(S_t, t)}{\sqrt{E^{HLSV}\left[V_t | S_t \right]}}. $$