澄清使用搭配方法獲得無套利sabr
我正在閱讀以下兩篇論文（第一篇，第二篇），它們建議使用所謂的“隨機搭配方法”來獲得一個非常接近源自 sabr 的初始微笑的無套利波動率表面。第一篇論文提供了該方法的一般背景，第二篇是一個很好的簡短概述，更適用於我感興趣的特定情況。
所以我們觀察 $ \sigma(K_i) $ 某些相對行權的市場隱含正常波動率 (bpsvol) $ ATM + x $ bps。 $ x $ 可以是類似的東西 $ 25, -50 $ 等等
1. 步驟：校準初始 Sabr 在這裡，我使用 Hagans 論文假設正常模型擬合 Sabr，即 $ \beta = 0 $ . 基於 Hagan 的原始論文
$$ \sigma_N(K) = \alpha\frac{\zeta}{\hat{x}{(\zeta)}}\left(1+\frac{2-3\rho^2}{24}\nu^2\tau_{exp}\right) $$ 在哪裡 $ \zeta = \frac{\nu}{\alpha}(f-K) $ 和 $ \hat{x}{(\zeta)}=\log{\left(\frac{\sqrt{1-2\rho\zeta+\zeta^2}-\rho+\zeta}{1-\rho}\right)} $
這是直截了當的，可以調整以獲得理想的結果。在下文中，我們假設這種擬合是成功的，並且我們能夠找到解決方案 $ (\alpha,\nu,\rho) $ . 正如針對低罷工和記錄儀到期所概述的那樣，隱含的密度函式可能會變為負數。在掉期交易的情況下，我們看到利率低且期限長，因此我想使用上述論文中描述的技術來消除這種蝴蝶套利。
其餘步驟基於第二篇論文。簡而言之，這個想法是使用廉價的發行版 $ F_X $ , 易於取樣, 取樣一個廣闊的, $ F_Y $ . 目標是找到一個函式 $ g $ 這樣
$$ F_X(x) = F_Y(g(x)) $$ 和 $ Y\overset{d}=g(X) $ . 他們建議使用以下近似值 $$ y_n \approx g_N(x_n) = \sum_{i=1}^Ny_i l(x_n) $$多項式展開。筆記， $ x_i $ 和 $ y_i $ 將罷工。我們如何選擇這個罷工對我的問題並不重要。
**2. 步驟：生存分佈：**和我們要選擇的論文一樣 $ X $ 為正態分佈且 $ Y $ 應該是來自 sabr 模型的生存分佈函式（SDF），由第二篇論文中的方程 2.3 給出
$$ G_Y(y)=1-\int_{-\infty}^y f_Y(x)dx = \int^{\infty}y f_Y(x)dx=-\frac{\partial V{call}(t,K)}{\partial K}\rvert_{K=y}\tag{1} $$ 然後導致 $$ y_n \approx g_N(x) = \sum_{i=1}^NG^{-1}_Y(G_X(\bar{x_i}))l(x) $$
**問題：**在論文中他們說一個人應該真正從 $ y $ 至 $ \infty $ 在 $ (1) $ 並且不使用表示 $ G_Y(y) = 1-F_Y(y) $ . 我應該如何整合它？如何找到密度 $ f_Y $ ? 我必須用數字近似它，還是應該使用看漲價格的偏導數？
假設我能夠得到這個近似值 $ g_N(x) $ 第三步包括重新校準 sabr 模型：
**Sabr 的重新校準：（**第二篇論文第 3.5 節）。在這裡，他們建議使用以下方法重新校準市場數據：
$$ \min\sum_i(\sigma(K_i)-\sigma_{g_N}(K_i))^2 $$
問題但是表格如何 $ \sigma_{g_N} $ 看起來取決於 $ g_N $ ? 由於他們沒有提到具體的公式，所以它一定是一個相當微不足道的問題，但我沒有看到解決方案。
如果我做對了，你會得到一個 SABR 模型，從擬合市場隱含揮發物（從市場價格通過 Black）到 SABR 揮發物（從 SABR 參數通過上面的公式）。然後你退後一步，認為 SABR 分佈需要改進，因為它不是無套利的。相反，您使用搭配方法將其替換為在一系列正態分佈上的投影。這種無套利分佈給出的分析期權價格（論文 2，第 3.4 節）並不完全符合給定的市場價格（SABR 所做的）。
問題：“我如何找到
$$ SABR probability $$密度？”答案：這是由 Hagen（和您的 SABR 參數）給出的。查看 Hagen 的“隨機波動率的 SABR 模型中的機率分佈”！ 問：“我應該使用呼叫價格的偏導數”來整合上述內容嗎？答：沒有。
Q“我應該如何整合”上述密度？答：如果您沒有找到解析公式，則為數值。
問題：無套利分佈中罷工的波動性如何“取決於”其參數？
答：根據第 3.4 和 3.5 節中的內容，估計的 SABR 參數和配置點給出了無套利分佈，然後給出了分析看漲價格。假設這些價格隨後通過黑方給出隱含波動率。因此，揮發物是 SARB 參數的函式，並且應該與隱含（我們從中獲取 SARB）完全匹配，如果它不能將分佈調整為無套利的分佈。
問題：“我沒有看到解決方案” 答：最小化 3.10 的解決方案是通過“本地搜尋算法，如 Nelder-Mead”找到一組接近初始參數的 SABR 參數。這樣，您最終將獲得最接近市場價格的無套利分配（至少在此範圍內）。