隱含波動率達到最小值（或最大值）的條件
認為
$$ dS = \sigma S dW $$
和
$$ d\sigma = a(\sigma,t) dt + b (\sigma,t) dZ $$
和 $ dW dZ = \rho dt $ .
普通期權的隱含波動率偏斜在每個到期日達到（全域）最小值或最大值的必要條件是什麼 $ T $ ? 換句話說，隱含波動率偏斜的斜率在某個罷工時為零 $ K $ 對於每個 $ T $ ， 在哪裡 $ K = K(T) $ ，即罷工可能會有所不同，具體取決於 $ T $ .
或者，如果這不成立，是否有可能證明或是否有證據證明某些人 $ T $ IV 的斜率僅在極限內為零 $ K \rightarrow \infty $ ，即不可能有每個時間片的全域最小值/最大值。
好的，這是我的鏡頭。如果我遺漏了什麼，請告訴我。對於每個 $ T $ 和其他相關參數隱含波動率定義為
$$ C^{BS}(\sigma^{IV}(K),K)=e^{-rT}\mathbb{E}^{Q}[(S_T-K)^{+}] $$
取導數。到 $ K $ 給
$$ \frac{\partial}{\partial \sigma}C^{BS}(\sigma^{IV}(K),K)\frac{d\sigma^{IV}(K)}{dK}+\frac{\partial}{\partial K}C^{BS}(\sigma^{IV}(K),K)=e^{-rT}\mathbb{E}[-I(S>K)]=-e^{-rT}\mathbb{P}(S>K) $$
利用 BS vega 總是積極的事實 $ \frac{d\sigma^{IV}(K)}{dK}=0 $ 當且當
$$ \frac{\partial}{\partial K}C^{BS}(\sigma^{IV}(K),K)=-e^{-rT}\mathbb{P}(S>K) $$
使用 BS 價格導數的標準結果。到 $ K $ 給
$$ -e^{-rT}N(d_2)=-e^{-rT}\mathbb{P}(S>K) $$
要麼
$$ N(d_2)=\mathbb{P}(S>K) $$
這意味著我們需要找到一個點，使得期權以貨幣結束的風險中性機率在 BS 和您的模型下是相同的。使用伊藤引理 $ \log(S_t) $ 我們有
$$ S_t=S_0\exp(\int_{0}^{t}\sigma_sdW_s-\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\sigma_s^2ds) $$
因此我們的條件是
$$ N(d_2)=\mathbb{P}(S_0\exp(\int_{0}^{T}\sigma_tdW_t-\frac{1}{2}\int_{0}^{T}\sigma_t^2dt)>K) $$
要麼
$$ N(d_2)=\mathbb{P}(\log(S_0)+\int_{0}^{T}\sigma_tdW_t-\frac{1}{2}\int_{0}^{T}\sigma_t^2dt>\log(K)) $$
因此一個充分必要條件是對於每個 $ T $ 有一些 $ K(T) $ 這樣
$$ N(d_2(K(T))=\mathbb{P}(\int_{0}^{T}\sigma_tdW_t-\frac{1}{2}\int_{0}^{T}\sigma_t^2dt>\log(K(T)/S_0)) $$
直覺上， $ b>0 $ 應該足以存在全域最小隱含 vol。最小值應該更明顯，如果 $ b $ 大，隱含波動率最小的執行價格應該接近 ATM 時 $ \rho $ 接近於零。我很確定這些斷言可以從 Hagen 近似到 SABR 模型中得到證明。