隱含波動率
對CEV模型的困惑
在 CEV 模型下，股票價格具有以下動態：
$ dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_t^\gamma dW_t $ ， 在哪裡 $ \sigma\geq0, $ $ \gamma\geq0 $ .
根據維基百科，如果 $ \gamma <1 $ 股票的波動性隨著價格下跌而增加。
但為什麼這是真的？為了在股價和波動率項之間建立反比關係，不應該是指數負數嗎？
注意
$$ \begin{align*} dS_t = S_t\left(\mu dt+\sigma S_t^{\gamma-1} dW_t \right). \end{align*} $$ 也就是說，波動率函式定義為 $ \sigma S_t^{\gamma-1} $ . 那麼，如果 $ \gamma <1 $ ，波動率隨著價格下跌而增加。
在@Gordon 回答的頂部給出了為什麼會發生這種情況的數學原因，請查看下圖，該圖說明了 CEV 過程對於各種值的行為 $ \gamma $ .
如您所見，低 $ \gamma $ 看起來像高價格的恆定波動（類似於帶有漂移的布朗運動），而高價值 $ \gamma $ 顯示高價格的高波動性。
資料來源：估計 CEV 模型。
