與不同模型隱含的波動率微笑混淆
我正在閱讀 Mark Joshi 的《數學金融的概念與實踐》一書。在第 18 章中，他討論了不同模型下微笑的形狀和動態。我不明白“模特暗示的微笑”是什麼意思。
據我了解，給定一個固定期限的普通期權[TMath Processing Error]並罷工[KMath Processing Error], 隱含波動率定義為參數的值[σMath Processing Error]我們需要輸入Black-Scholes公式才能得到市場上觀察到的價格。對不同的打擊重複這個，我們得到微笑作為函式[KMath Processing Error]. $ T $ $ K $ $ \sigma $ $ K $
如果我錯了，請糾正我，但隱含的波動率總是與上述相同，並且與 Black-Scholes 模型有關。在這種情況下，誰能給我一個更一般的模型的“模型暗示的微笑”的定義？
例如，Joshi 討論了隨機波動率模型的微笑：
[數學處理錯誤]$$ \frac{dS}{S} = \mu dt + V^{1/2} dW^{(1)}, $$ $$ dV = \lambda (V_r - V) dt + \sigma_V V^\alpha dW^{(2)}. $$ 完全讓我困惑的是，當他談到這個模型所暗示的微笑時。我們被允許校準任何[αMath Processing Error],[λMath Processing Error],[VrMath Processing Error]和 $ \alpha $ $ \lambda $ $ V_r $ $ \sigma_V $ 因此模型與市場價格相匹配，但股票的波動性是一個隨機過程，因此我們無法引入“隱含波動率”。
在跳躍擴散或變異數伽馬的情況下，我也有類似的困惑。可能有更多的參數，並且給出市場價格的解決方案集將是多維的。更不用說股票的波動性可能不是一個參數這一事實。
謝謝您的幫助。
在期權定價的背景下，“隱含波動率”總是指幾何布朗運動 (GBM) 動力學中的等效擴散係數，該係數對於給定的行使價和到期日匹配觀察到的歐洲普通香草價格是必要的。
當談到“模型隱含波動率微笑”時，其含義是：
- 您選擇一些定價模型，例如您的問題中提到的那些。
- 您修復模型的參數。
- 在給定的模型動態和參數下，您評估所有到期利息的歐洲普通普通期權價格。
- 最後，您將這些模型價格視為隱含波動率計算的觀察輸入。即您計算等效的 GBM 波動率，以便匹配先前計算的模型價格。
只是想在您的陳述中指出一些小問題，並可能對這些公式的概念模型有所幫助。
隱含波動率定義為參數σ的值，我們需要輸入到 Black-Scholes 公式中以獲得市場觀察到的價格。
這實際上是落後的。隱含波動率實際上更好地被認為是主要輸出，我們稍後將公式反轉用於建模目的。
價格是一個基本事實。*價格就是這樣，公式不會改變它。*最好將上面的陳述改寫成這樣；
給定一個具有固定期限T和行使價K的普通期權，隱含波動率是從期權價格推導出來的，它是使用 Black-Scholes 公式（或其他公式）由參數σ描述的風險中性機率分佈。對不同的行權重複此操作，我們根據其自身的定價獲得每個行權的隱含波動率，從而形成波動率Smile。
我們確實經常使用 IV 作為輸入，但這純粹是為了模擬期權價格隨著因素的變化可能會發生什麼。
微笑效應的原因有很多。主要原因是每個能夠描述隱含波動率的期權定價模型都依賴於某種形式的隱含或顯式機率分佈作為參考來確定特定期權價格的隱含波動率。
當市場定價與機率分佈的基本假設不一致時，就會發生微笑效應。如果市場參與者認為尾部風險高於模型所暗示的並且將其定價到期權中，那麼您對 IV 的計算將為您提供遠離 ATM 的期權中的超額 IV。這會給你一個微笑的效果。如果風險在外部罷工中的定價較低，它將顯得皺眉。傾斜效應可以以同樣的方式形成。