二元期權是否總是存在隱含波動率？
我正在嘗試計算二元期權的隱含波動率，但我無法使用蒙地卡羅定價模型或分析 Black Scholes 模型獲得一些罷工來達到收斂解決方案，使用牛頓法最小化。由於二進製本質上是罷工時的普通看漲期權的衍生品，是否有可能總是計算隱含波動率？
不，二元期權的價值有一個上限，這取決於利率以及收益區域下可以打包多少分配。本質上
$$ C = e^{-rT} \int_K^\infty \psi(S_T) dS_T $$ 對於電話和
$$ P = e^{-rT} \int_0^K \psi(S_T) dS_T $$ 對於看跌期權。任何一個積分都不能超過 1.0，而且它們通常在 $ \sigma $ .
如果您正在使用市場要價，則它們完全有可能高於 Black-Scholes 最大值，尤其是對於二元看跌期權。
當然，總是可以找到隱含波動率。二進制呼叫的 值為
$$ {e}^{-r(T-t)}N(d_2) $$ 在哪裡 $$ d_2=\frac{ln(\frac{S}{E})+(r-D-\frac{\sigma^2}{2})\tau}{\sigma\sqrt\tau} $$ 現在，沒有什麼可以阻止牛頓拉夫森方法找到一個 $ \sigma $ 給定二進制呼叫的值並且是
- 積極的
- 如果該給定值是BC那麼本質上 $$ 0<BC<{e}^{-r\tau} $$
只是，更改您的程式碼以增量更改錯誤值以及牛頓拉夫森的起點，直到它達到正確的解決方案。注意：使用 CDF 函式近似，因為它在四肢上比 NormsDist 中內置的 excel 更好
$$ d = \frac{1}{1 + 0.2316419 * |x|} $$ $$ a_1 = 0.31938153 $$ $$ a_2 = -0.356563782 $$ $$ a_3 = 1.781477937 $$ $$ a_4 = -1.821255978 $$ $$ a_5 = 1.330274429 $$ $$ y = d * (a_1+d*(a_2+d*(a_3+d*(a_4+d*a_5)))) $$ $$ cdf = 1 - \frac{1}{(2\pi)^2} * e^{(-0.5x^2)} * y $$ 除非 x < 0，否則
$$ cdf = 1 - cdf $$