Vol-of-Vol 對 VIX 的影響
標的物的 vol-of-vol 對 VIX 指數有何影響？
VIX 被計算為對沖合約的對沖組合，以隔離純粹的波動率敞口，而無需指定潛在的隨機過程。
另一方面，我可以假設並參數化一個隨機過程，例如 Black-Scholes 或 Heston 模型，併計算一個 vol 微笑。使用那個 vol 微笑，我可以計算 VIX，並且應該得到非參數隱含 vol。
在 BS 案例中，結果是微不足道的：vol 微笑是平坦的，因為模型假設 vol 恆定，而該微笑的 VIX 正是如此。這是我所期望的。
在赫斯頓的案例中，我很掙扎：沒有純粹的 vol 參數，只有 vol 過程的參數（初始 vol、長期 vol、回調、vol-of-vol 以及與股票價格過程的相關性）。改變參數會使生成的 vol 微笑變形，並影響該微笑上的 VIX 水平。赫斯頓模型的波動性可以使用傅里葉變換的矩公式計算。我預計 VIX 正是如此。這種 vol 計算表現如預期，隨著長期 vol 增加，如果 rho 為正，則隨著 vol-of-vol 增加，反之亦然，依此類推。
但是：VIX 水平完全忽略了 vol-of-vol 或相關參數。
如果我理解正確，VIX 是行使權加權不變美元伽馬的零增量投資組合。伽馬本身對 vol-of-vol 變化不敏感嗎？為什麼/為什麼不？有沒有辦法對沖這個？
我假設你真的是指 VIX 而不是 VIX 的未來：
考慮 BS 模型 $ dS = \sigma S dW $ 對於一些恆定的音量 $ \sigma $ . 目前位置是否 $ S_0 $ 取決於 $ \sigma_0 $ ? 取決於什麼 $ \sigma_t $ 當然是變化 $ S_t $ ， IE $ dS_t $ , 和凸導數 $ S $ 比如看漲期權。
現在更換 $ S $ 通過變異數交換罷工（即 VIX^2），並問同樣的問題 $ \sigma $ 那麼現在是 vol 的 vol。
關於相關性：我再次認為，VIX^2 的目前值就是這樣。但當然，VIX^2 的變化肯定取決於相關性，例如當標的物的波動率也取決於目前的現貨水平時。