隱含風險中性密度不集成到統一

有一個眾所周知的結果 $ \frac{\partial^2 c(K)}{\partial K^2}= e^{-rT}f(K) $ ， 在哪裡 $ K $ 是罷工和 $ f $ 是當時的風險中性密度 $ T $ . 從市場價格計算左邊，這個公式可以用來獲得隱含的風險中性密度。

但是，如果市場價格無法給出有效的密度，會發生什麼情況。例如，市場可能會給你一個 $ \frac{\partial^2 c(K)}{\partial K^2} $ 這樣 $ f(K) $ 沒有整合到統一。

隱含波動率是否有任何已知條件或 $ c(K) $ 這樣 $ f(K) $ 是有效的密度嗎？

如果你回憶一下 Breeden 和 Litzenberger (1978) 的推導，你所需要的（除了無套利和無限多看漲期權）如下

1. $ \max{S_0e^{−qT} − Ke^{−rT} , 0} \leq C(S_0,K,T) \leq S_0e^{−qT} $ 對於所有罷工 $ K \geq0 $ ,
2. $ \frac{\partial C(S_0,K,T)}{\partial K}\geq -e^{-rT} $ 對於所有罷工 $ K \geq0 $ ,
3. $ \lim\limits_{K\to\infty}\frac{\partial C(S_0,K,T)}{\partial K}=0 $ 和
4. 看漲期權價格 $ C(S_0,K,T) $ 作為行使價的函式 $ K $ 是二次可微的，單調遞減和凸的。

然後，存在一個定義明確的風險中性密度函式（即正並積分為一），由下式給出$$ q(x) = e^{rT}\frac{\partial^2 C(S_0,K,T)}{\partial K^2}\bigg|_{K=x}. $$

通常，可以在期權是 ATM 的情況下插入流動性交易的行權價。當您需要具有大小行使價且交易不佳的期權價值時，就會出現問題。一種可能性是提出尾部行為的參數模型。Taylor (Asset Price Dynamics, Volatility, and Prediction, 2005) 有一整章是關於分散風險中性密度的，並且非常適用。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/47516