Jim Gatheral 關於 ATM 隱含波動率與平方根變異數的斷言
在Jim Gatheral 的著作 The Volatility Surface Section Dependence on Skew and Curvature（第 138 頁）中，他斷言
我們知道赫斯頓模型中平價遠期期權的隱含波動率低於預期變異數的平方根（想想赫斯頓最終股票價格隱含分佈的形狀）。
我懷疑他在某處談論詹森不等式。但我沒有看到。預期變異數應該是 $ \mathbf E[v] $ 在哪裡 $ v $ 是赫斯頓模型描述的變異數過程。我沒有看到這種不等式的證明，儘管第 3 章直接根據模型變異數參數提供了隱含波動率的一些近似值。有人有證據嗎？
下面是我的 2 美分，但這對於評論來說太長了。
正如他在接下來的幾行中所展示的那樣（另見Bergomi 書中的變異數交換章節）
$$ \sigma_{VS}^2(T) = \int_{-\infty}^{+\infty} \tilde{\sigma}^2(z,T) \phi(z) dz \tag{0} $$ 在哪裡 $ \sigma_{VS}(T) $ 表示到期的新開始變異數互換的波動性 $ T $ ; $ \phi(\cdot) $ 標準高斯pdf； $ \sigma(k,T) $ 微笑在對數前向貨幣和到期時間空間中的隱含波動率，以及 $ \tilde{\sigma}(\cdot,T) $ （修飾的微笑）直接關聯真實的微笑 $ \sigma(\cdot,T) $ 如下 $$ f: (k,t) \rightarrow -\frac{k}{\sigma(k,t)\sqrt{t}} + \frac{\sigma(k,t)\sqrt{t}}{2} $$ $$ \tilde{\sigma} : (z,t) \to (\sigma \circ f^{-1})(z,t) $$ 方程 $ (0) $ 相當於寫
$$ \sigma_{VS}^2(T) = \Bbb{E} \left[ \tilde{\sigma}^2(z,T) \right],,z \sim N(0,1) $$ 我認為他當時指的是這樣一個事實 $$ \sigma_{VS}(T) = \sqrt{ \Bbb{E} \left[ \tilde{\sigma}^2(z,T) \right] } \geq \Bbb{E} \left[ \tilde{\sigma}(z,T) \right] $$ 由 Jensen 不等式（平方根是凹函式）。現在如果你參數化 $ \tilde{\sigma} $ 作為 $$ \tilde{\sigma}(z) = \tilde{\sigma}0 + \alpha z \tag{1} $$ 你確實有 $$ \sigma{VS}(T) \geq \tilde{\sigma}0 $$ 這表明 $ \sigma{VS}(T) $ 大於 $ \tilde{\sigma}_0 $ 如果“修飾”的微笑 $ \tilde{\sigma} $ 可以參數化為 $ (1) $ . 他得出結論，偏斜對這一結果沒有影響。 當然，現在的問題是 $ (1) $ 在實踐中肯定太死板了（可以說接近遠期貨幣性可能是一個不錯的近似值）和 $ \tilde{\sigma}_0 \ne \sigma_0 $ 真正的ATMF卷。因此，IMO 他的斷言不能籠統地做出。
請注意，Bergomi & Guyon 在非常一般的隨機波動率模型中成功推導出了與 VS 波動率和 ATMF 波動率相關的準確近似值，請參見此處。如果您查看他們論文的等式（12），您會發現，在第一階，偏斜是導致 ATMF vol 和 VS vol 之間差異的唯一因素，這與 Gatheral 獲得的結果背道而馳。
歸根結底，我認為他的主張在修改後的微笑空間中成立 $ \tilde{\sigma}(\cdot,T) $ 但不是在真正的微笑空間 $ \sigma(\cdot,T) $ .