蒙特卡羅模擬的局部波動率
我正在嘗試使用局部波動率模型（Dupire 方程）來實現蒙地卡羅模擬。
我很確定我可以建構一個非常好的 LV 表面，但是，我不知道如何在 MC Simulation 中使用它。
關鍵是因為我總是從目前的現貨價格開始模擬，所以在第一步中，我總是會首先得到 ar-the-money 的波動性。因此，如果我想為普通的 Vanilla 期權定價，其期限等於第一個時間步長（我的表面的第一個期限），所有路徑都將使用平價 vol 和價格將與市場不一致。
確定我做錯了什麼，有人可以幫助我嗎？
讓您的 LV 模型下的風險中性動態由下式給出 $$ \frac{d S_t }{S_t } = \mu_t dt + \sigma(t,S_t) dW_t $$ 讓我們放棄漂移貢獻（這裡不相關）並應用伊藤引理來獲得： $$ d \ln(S_t) = -\frac{1}{2}\sigma^2(t,S_t) dt + \sigma(t,S_t) dW_t $$ 為了從這個 SDE 進行模擬，您需要選擇一個特定的離散化方案。
最簡單的選擇是選擇 Euler-Maruyama 方案收益，條件是可用的資訊 $ t $ :
$$ \begin{align} \ln(S_{t+\delta t}) &= \ln(S_{t}) - \frac{1}{2}\int_t^{t+\delta t} \sigma^2(u,S_u) du + \int_t^{t+\delta t} \sigma(u, S_u) dW_u \ &\approx \ln(S_{t}) - \frac{1}{2} \sigma^2(t,S_t) \delta t + z \sqrt{\sigma^2(t, S_t)\delta t} \tag{1} \end{align} $$ 我們還假設了時間積分的歐拉離散化 + 使用 Itô 等距。在一天結束時，你確實看到了 $ S_{t+\delta t} \vert S_t $ 將是對數正態的。
所以如果你想從 $ t=0 $ 至 $ t=T $ ( $ T $ 作為您感興趣的日期），僅使用一個時間步長 $ \delta t = T $ ，您將擁有與 Black-Scholes 中一樣的對數正態分佈（或等效地，沒有 IV 偏斜）。
但是，如果你打破間隔 $ [0,T] $ 進入 $ i=1,\dots,N $ 子區間 $$ 0 =: t_0 < t_1 = \delta t < \dots < t_N := T $$並應用前面的方法依次生成 $ S_{1} \vert S_0 $ 然後 $ S_2 \vert S_1 $ 直到 $ S_{T} \vert S_{T-\delta t} $ , $ S_{T} $ 將不再是對數正態的。
直覺地說，這是因為您將逐漸開始使用路徑相關的波動率來模擬未來的價格演變，這與單一波動率圖框架（即 Black-Scholes）相反。
我的其他評論與其他離散化方案有關，其中在每個時間步長條件分佈都不是對數正態分佈。這是因為擴散係數的路徑依賴性將在 SDE 本身的離散化中得到考慮（參見例如Milstein）。無論您是否可以使用單個時間步長並希望直接匹配理論分佈，這都是一個收斂+離散化偏差問題。
沒錯，但是您非常“本地”地使用 LV。如果您的 K>S0 或 K<S0，則第一步您將使用 LV(new K = S0,0)，因為 S0!=K(最後)，它在本地考慮但在全球不考慮。這很棘手，這就是 LV 的過程是如何定義的。