股票期權的買入/賣出成交量的中間成交量
給定任意出價 IV 和要價 IV 是否有可能以與模型無關的方式計算中間 IV？除了平均出價和要價數量或出價/要價 ivs 和價格之間的插值之外，還有什麼其他的嗎？讓中間 IV 無套利不是問題
平均買賣波動率將是唯一的“無模型”方法。
事實上，回顧一下： $$ f^{-1}( f(x) ) = x $$ 應用標準微積分的鍊式法則給出 $$ (f^{-1})’(y) = 1/f’(f^{-1}(y)) $$
定義 $ f $ 作為將 Black-Scholes 波動率映射到歐洲香草價格的函式（所有其他定價參數保持不變） $$ f: \sigma \to V(\sigma,\cdot) $$ 它的逆 $ f^{-1} $ 成為從輸入價格輸出隱含波動率的函式。
從 1 階泰勒展開 $ f^{1} $ $$ (f^{-1})’(y) = (f^{-1})’(y_0) + 1/f’(f^{-1}(y_0))(y-y_0) + o(y) $$ 買入/賣出隱含波動率 ( $ y\in {C_{bid},C_{ask}} $ ) 中層附近 ( $ y_0=C_{mid} $ ) 會得到你 $$ \begin{align} \sigma_{bid} &= \sigma_{mid} + 1/\nu_{mid}(C_{bid}-C_{mid}) \ \sigma_{ask} &= \sigma_{mid} + 1/\nu_{mid}(C_{ask}-C_{mid}) \end{align} $$ 在哪裡 $ \nu_{mid} $ 表示合約的 Vega（使用輸入中的中間隱含 vol）。讓買賣價差 $$ \delta := C_{ask}-C_{bid} $$ 並將這兩個方程加在一起確實會產生 $$ \sigma_{mid} = 1/2(\sigma_{bid}+\sigma_{ask}) $$
基本上這說的是只要 $ f $ 波動性是線性的，經驗法則是準確的（因為 $ f^{-1} $ 也會，假設它存在）。
現在，只要你有物質凸性（即遠離金錢），使用 2 階擴展而不是 1 階擴展，你會看到伏爾加河在 $ \sigma_{mid} $ 出現，從而產生非線性“不動點”問題，只能在假設模型的情況下解決。