GBPUSD 和 USDGBP 的隱含波動率和歷史波動率之間的關係
Q1。GBPUSD 和 USDGBP的隱含波動率在數學上如何相互關聯？請也直覺地解釋一下。
Q2。GBPUSD 和 USDGBP的歷史波動性在數學上如何相互關聯？
My take ( Please correct if i am wrong):“歷史波動率或已實現波動率計算為對數回報的標準差。”
設 t1, t2, t3 ….tn 時刻 GBPUSD 的價格為 S1, S2, S3…Sn。因此，它的返回將是 Log(S2/S1)、Log(S3/S2)….Log(Sn/Sn-1)。假設這些的標準偏差為 σ1。
現在，美元英鎊在時間 t1, t2, t3….tn 的價格將是 1/S1, 1/S2, 1/S3…..1/Sn。因此，它的日誌返回將是 log(S1/S2)、Log(S2/S3)….Log(Sn-1/Sn)。這些回報與 GBPUSD 具有相同的幅度，但符號相反。因此，它的標準偏差將保持與 σ1 相同。
基於這些計算，是否可以假設 GBPUSD 和 USDGBP 的歷史/已發布波動率相同？
使用通常的 FX 建模技術，讓我們假設 $ \text{USDGBP}t $ 當本國貨幣為美元時，在國內風險中性測度下遵循幾何布朗運動： $$ d\text{USDGBP}t=(r{USD}-r{GBP})\text{USDGBP}tdt+\color{blue}{\sigma}\text{USDGBP}tdW_t $$ $ r{USD} $ 和 $ r{GBP} $ 分別是美元和英鎊的無風險利率。根據伊藤引理： $$ \begin{align} d\text{GBPUSD}_t=d\left(\frac{1}{\text{USDGBP}_t}\right)&=-\frac{d\text{USDGBP}_t}{\text{USDGBP}_t^2}+\frac{(d\text{USDGBP}t)^2}{\text{USDGBP}t^3} \ &=\frac{r{GBP}-r{USD}+\sigma^2}{\text{USDGBP}_t}dt-\frac{\sigma}{\text{USDGBP}_t}dW_t \end{align} $$ $ W_t $ 具有相同的分佈 $ -W_t $ 因此我們定義了一個新的布朗運動 $ \tilde{W}t=-W_t $ : $$ \begin{align} d\text{GBPUSD}t&=\frac{r{GBP}-r{USD}+\sigma^2}{\text{USDGBP}_t}dt+\frac{\sigma}{\text{USDGBP}t}d\tilde{W}t \ &=(r{GBP}-r{USD}+\sigma^2)\text{GBPUSD}_tdt+\color{blue}{\sigma}\text{GBPUSD}_td\tilde{W}_t \end{align} $$ 因此 $ \text{USDGBP}_t $ 和 $ \text{GBPUSD}_t $ 理論上具有相同的隱含波動率。