攤銷 IR 掉期期權的估值
我目前正在使用隱含波動率表面和布萊克公式評估掉期期權。該公式由下式給出
$$ A (S\Phi(d_+) - K \Phi(d_-)) $$ 在哪裡
$$ d_{\pm} = \frac{\log\left(S/K\right) \pm \frac{1}{2}\sigma_{\text{impl}}^2 T_{\text{exc}}}{\sigma_{\text{impl}} \sqrt{T_{\text{exc}}}}\ A = N\sum_{i}\alpha_i P(0, T_i)\ S = \frac{P(0, T_{\text{exc}}) - P(0, T_{\text{final}})}{\sum_{i}\alpha_i P(0, T_i)} $$ 不同的符號代表：
- $ A $ = 年金
- $ N $ = 名義上的
- $ T_{\text{start}} $ = 掉期的行使日期
- $ T_{\text{final}} $ = 標的掉期的最終支付日期
- $ S $ = 基礎掉期的掉期利率
- $ K $ = 行使價/標的掉期固定邊的應計率
- $ \alpha_i $ = 每條腿的應計長度
- $ P(0, T) $ = 折扣係數。
最後，波動率 $ \sigma_{\text{impl}} $ 由掉期價格的市場數據提供。為此，我使用了一些插值技術。這種插值技術使用掉期期權的執行日期和基礎掉期的期限（期限 = 第一次和最終付款之間的時間）。為簡單起見，我只考慮 ATM 波動性（對於不同期限/期限的掉期期權，波動性仍然不同）。
我想使用這個公式（或類似的公式）來為具有攤銷配置文件的掉期期權定價。對於攤銷掉期，名義價值隨著時間的推移而減少（即，對於每條腿，我們有不同的名義價值）。您可以通過以下方式定義掉期利率
$$ S^{\text{amort}} = \frac{\sum_i N_i \alpha_i P(0, T_i)F(0, T_{i-1}, T_i)}{\sum_i \alpha_i N_i P(0, T_i)} $$年金也是如此。這裡 $ F $ 是遠期利率。 但現在的問題是，攤銷掉期的掉期期權沒有波動面。那麼我應該使用什麼隱含波動率呢？理想情況下，我想從我已經擁有的隱含波動率表面中提取波動率（基於非攤銷掉期期權）。
我交易掉期期權已經很多年了。答案是不可能從非攤銷掉期期權波動率矩陣中準確計算出歐洲期權在攤銷掉期上的隱含波動率。這是因為除了波動率結構之外，還依賴於相關性結構。根據攤銷的性質，相關效應可大可小。例如，一個 1 年期期權在第 3 年之後名義攤銷率為 50%，在第 4 年之後為 50%，將通過取 1-3 年和 1-4 年歐洲掉期期權波動率的平均值非常接近地近似。然而，從第 6 年到第 26 年每年攤銷 5% 的 5 年期期權將需要考慮相關面。相對於簡單計算，這種相關效應應該會降低攤銷掉期利率的隱含波動率，因為它類似於一籃子期權。量化這一點需要對曲線內相關結構進行一些研究。