風險中性隱含密度與現實世界密度之間有什麼聯繫？
我知道我們可以使用期權價格來暗示波動性並最終暗示風險中性密度。我也明白這個隱含的密度與“現實世界的密度”不同。然而，風險中性密度通常會顯示出與“現實世界”關注點強烈對應的某些形狀/規律性/不規律性。例如，在收益或事件有可能躍升至兩種狀態/價格中的一種時，隱含的風險中性密度將是雙峰的。所以有聯繫。但是，查看隱含密度並做出諸如“期權價格暗示標的資產將低於 100 的可能性為 23%”或“期權價格暗示有 33% 的可能性將上漲至更高的可能性”這樣的聲明是否有意義？收益後” ? 隱含的密度/機率與此類陳述/評估之間的映射是什麼？
我將概述如何從（觀察到的）期權價格估計（隱含的）真實世界的密度函式。找到這個真實世界的密度後，您就可以計算各種機率並量化市場對未來價格的預期。
首先回想一下，（歐式）期權被定價為貼現收益的風險中性預期。因此，
$$ \begin{align*} C(S_0,K,T) &= e^{-rT} \mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[ (S_T-K)^+\right] \ &= e^{-rT} \int_\mathbb{R} (x-K)^+ f_{S_T}^\mathbb{Q}(x)\ \mathrm{d}x \ &= e^{-rT} \int_\mathbb{R} (x-K)^+ \frac{f_{S_T}^\mathbb{Q}(x)}{f_{S_T}^\mathbb{P}(x)}\ f_{S_T}^\mathbb{P}(x)\mathrm{d}x \ &= \mathbb{E}^\mathbb{P}\left[ M_T (S_T-K)^+\right], \end{align*} $$ 其中隨機變數 $ M_T(x)=e^{-rT}\frac{f_{S_T}^\mathbb{Q}(x)}{f_{S_T}^\mathbb{P}(x)} $ 是隨機折扣因子(SDF)，即定價核心。
用更正式的方式，你可以說 $ C(S_0,K,T) = \mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[ \frac{1}{B_T}(S_T-K)^+\right]= \mathbb{E}^\mathbb{P}\left[ \frac{1}{B_T}\frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\mathbb{P}}(S_T-K)^+\right] $ 並且可以將 SDF 辨識為 Radon Nikodym 衍生物， $ M=\frac{1}{B_T}\frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\mathbb{P}} $ ，這也解釋了名稱“隨機折扣因子”。
正如你所說，風險中性密度 $ f_{S_T}^\mathbb{Q} $ 可以通過期權價格來近似，最簡單的方法是 Breeden 和 Litzenberger (1978) 結果 $$ \begin{align*} f_{S_T}^\mathbb{Q}(x) &= e^{rT}\frac{\partial^2 C(S_0,K,T)}{\partial K^2}\bigg|{K=x}. \end{align*} $$ 當然，獲得一組無套利的期權價格和具有非常低/高行使價的期權價格是有問題的，這需要估計 $ f{S_T}^\mathbb{Q} $ 準確。
現在假設你知道風險中性測度下的終端股價分佈 $ \mathbb{Q} $ . 如果你也知道 SDF，你就完成了，真實世界的密度由下式給出 $ f_{S_T}^\mathbb{P}(x)=e^{-rT}\frac{f_{S_T}^\mathbb{Q}(x)}{M_T(x)} $ .
不幸的是，我們不知道真正的 SDF。有許多資產定價模型提出和推導了各種 SDF。最簡單的情況採用冪效用函式 $ u(x) = \frac{x^{1-\gamma}}{1-\gamma} $ 為了 $ \gamma\neq1 $ （案子 $ \gamma=1 $ 產生對數效用）。一個關鍵性質是，在這樣的效用函式下，相對風險厭惡係數 $ -x\frac{u’’(x)}{u’(x)}=\gamma $ 是恆定的。SDF 與邊際效用成正比 $ u’(x)=x^{-\gamma} $ .
因此， $$ \begin{align*} f_{S_T}^\mathbb{P}(x) &= C\cdot x^{\gamma}f_{S_T}^\mathbb{Q}(x). \end{align*} $$ 常數 $ C>0 $ （擷取折扣因子 $ e^{-rT} $ 和比例常數）需要確保 $ f_{S_T}^\mathbb{P} $ 合為一。至此，我們終於到達 $$ \begin{align*} f_{S_T}^\mathbb{P}(x) &= \frac{x^{\gamma}f_{S_T}^\mathbb{Q}(x)}{\int_\mathbb{R} x^{\gamma}f_{S_T}^\mathbb{Q}(x) \mathrm{d}x}. \end{align*} $$
幾點注意事項
- 假設你知道 $ f_{S_T}^\mathbb{Q} $ 以某種模型的封閉形式。您可能仍然需要對分母中的積分進行數值求解…除非您假設 $ f_{S_T}^\mathbb{Q} $ 是對數正態或對數正態的混合或簡單的東西。但是，如果您採用 Black Scholes 模型，則可以計算封閉形式的真實世界密度。如果你估計 $ f_{S_T}^\mathbb{Q} $ 從觀察到的期權價格，你當然別無選擇，只能用數字計算積分。
- 次要假設是不存在套利和存在恆定的無風險利率。更成問題的是 CRRA 假設。您的 SDF 越複雜（現實），您的真實世界密度就越複雜。
- Bakshi、Kapadia 和 Madan (2003) 舉例說明瞭如何使用功率效用函式來估計現實世界的密度。Taylor 的《資產價格動態、波動性和預測》一書中有一章是關於估計風險中性密度並將其轉換為現實世界的密度。