為什麼 Black76 模型中的 ATM (!) 呼叫掉期期權的溢價有上限？

試圖暗示 Black76（遠期掉期利率為對數正態）波動率，就像 Bloomberg 在其 VCUB 螢幕中所做的那樣，我們在兩個區域看到了漏洞：

• 由於在對數正態模型中無法捕捉到的負利率導致的短期到期 - 這很明顯
• 而且還處於高成熟期——這對我來說是令人驚訝的。

文件說，在 Black76 模型中，ATM 呼叫價格的互換利率有一個上限。如果溢價較高，則不能暗示波動性。但是怎麼會有上限呢？

編輯：上限只是折扣率嗎？如果我們還記得 B76

$$ C= \exp(-r T)[F N(d_1) - K N(d_2)], $$ 那麼ATM意味著 $ F=K $ 因此 $$ C= \exp(-r T)F [N(d_1) - N(d_2)], $$ 這是 $$ \exp(-r T)F [N(\sigma \sqrt{T}/2) - N(-\sigma \sqrt{T}/2)], $$ 並使用對稱性我們得出 $$ \exp(-r T)F [1-2N(-\sigma \sqrt{T}/2)] \le \exp(-r T)F, $$ 這將是一個相當高的界限….

在 BS 模型中，存在股票價格的上限，這可以通過股票價格限制看漲期權收益的事實來證明。在這裡，我們看到了類似的效果：貼現率對應於股票價格。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/24382