為什麼使用隱含波動率
首先，我將描述到目前為止我從文獻中理解事物的方式，隨時在這裡糾正我，然後我提出一些問題。我會搜尋 QSE，但到目前為止還沒有找到類似的問題。
BS 模型假設股票遵循具有線性擴散項的 SDE，因此波動率恆定：
$$ \mathrm dS_t = \mu S_t \mathrm dt + \sigma S_t\mathrm dW_t. $$ 儘管該模型早在 70 年代初就顯示出與市場價格的合理匹配，但在 10 年中，人們注意到，當假設波動率恆定時，例如使用 ATM 期權校準時，具有不同到期/執行權的同一股票的期權價值與 BS 模型所建議的不同。 隱含波動率 $ \sigma_{\mathrm{imp}}(K,T) $ 因此被定義為恆定波動率的值，當放入 BS 公式時，它會返回到期期權的市場價格 $ T $ 並罷工 $ K $ . 由於劇情 $ \sigma_{\mathrm{imp}} $ 看起來遠非平坦，並表現出臭名昭著的傾斜/微笑效應，很明顯，假設任何恆定的波動水平都不會導致觀察到的市場價格。由於這個原因，Derman 等人在 90 年代中期引入了局部波動率模型
$$ \mathrm dS_t = \mu S_t\mathrm dt + \sigma_{\mathrm{loc}}(S_t,t)\mathrm dW_t $$ 並建議校準 $ \sigma_{\mathrm{loc}} $ 和 $ \sigma_{\mathrm{imp}} $ 而不是例如歷史波動。此外，甚至還有整個波動率表面的動態模型——我認為現在有些人使用 SPDE 來做這件事。
- 現在，隱含波動率是一個依賴模型的概念。即使這可以很好地估計市場對未來波動的預期（有些人認為這不是真的），這也意味著假設市場上的每個人都使用相同的模型。例如，經典的隱含波動率是通過 BS 公式計算的，因此將其考慮在內需要假設市場上的大多數人都在使用 BS 來定價，例如香草。是否有意義？
- 必要的隱含波動率包含一些嘈雜的資訊 - 例如，OTM 期權的需求/供應使其價格比 ATM 期權的價格波動更大，這不是股票的內在屬性（應該是波動率）。即使決定使用局部確定性/隨機波動率模型，為什麼不在歷史數據上進行校準呢？我確實知道對後一種方法的批評，但是由於大多數模型無論如何都是馬爾可夫模型，這似乎比隱含的方法更好地證明了歷史方法的合理性，不是嗎？
我嘗試用其他一些問題來回答這個問題：
- BS模型對嗎？不。有用嗎：是的。採用交易價格和 BS 模型，只有一個市場沒有給出的輸入因素：隱含波動率。這是一種跨時間和罷工比較期權的措施。
- 有更好的模型嗎？是的。您提到的那些：本地捲模型。有隨機 vol 模型、Lévy 模型，如果校準正確，它們的性能比 BS 模型好得多。事實上，BS 模型通常是更複雜模型的一個微不足道的特例。這些模型是如何評估的？一種方法是查看這些模型計算出的價格的 BS 隱含波動率是否符合市場上可以觀察到的 BS 隱含波動率。同樣，BS 隱含的 vol 可用於進行比較。
- 為什麼不使用歷史數據？您用於未來到期的期權的波動率與過去/觀察到的波動率的聯繫有限。例如，如果我在 NIKKEI 交易期權並且福島災難發生，那麼隱含波動率將立即上升。歷史成交量只會逐漸上升。簡而言之：隱含波動率是前瞻性和反應性的，而歷史波動率是向後看且緩慢的。
我們使用隱含波動率的原因與我們使用持續時間的原因類似。我們知道證券價格不是利率的線性函式，但我們看久期，因為它讓我們了解對利率的敏感性。隱含波動率為您提供了一個衡量波動性的指標，它並不能完美地描述它，但只要我們知道這一點，它仍然是一個有價值的指標。