更改為鞅機率世界
這個問題真的讓我很生氣，我正在努力做最後的證明，我可以毫無問題地調整漂移率所需的調整，以使漂移項成為我認為的鞅度量 = u/sigma ，但是，我正在努力尋找 S 的函式是什麼使度量成為鞅，從我的教科書中它說函式應該是 S_t = S*_t + u/sigma * t ，但是當我執行 itos lemma在這個結果上，我似乎無法獲得零漂移率（我還假設 S*_t = S_0），任何幫助都會得到極大的讚賞。
我們假設，在機率測度下 $ P $ ,
$$ \begin{align*} dS_t = S_t(\mu dt +\sigma dW_t), \end{align*} $$ 在哪裡 $ {W_t, , t \ge0} $ 是標準布朗運動。注意， $$ \begin{align*} dS_t=\sigma S_t d\left(\frac{\mu}{\sigma}t+ W_t \right). \end{align*} $$ 你需要機率測度 $ Q $ 這樣，在 $ Q $ , 過程 $ {W_t + \frac{\mu}{\sigma}t, , t\ge 0} $ 是標準布朗運動。為此，我們定義了度量 $ Q $ 這樣 $$ \begin{align*} \frac{dQ}{dP}\big|_t = \exp\left(-\frac{1}{2}\left( \frac{\mu}{\sigma}\right)^2 t-\frac{\mu}{\sigma} W_t\right). \end{align*} $$ 然後，根據 Girsanov 定理， $ Q $ 是機率測度，過程 $ {\widehat{W}_t, , t\ge 0} $ ， 在哪裡 $ \widehat{W}_t=W_t + \frac{\mu}{\sigma}t $ , 是一個標準的布朗運動 $ Q $ . 此外，由於 $$ \begin{align*} dS_t =\sigma S_t d\widehat{W}_t, \end{align*} $$ $ {S_t, , t\ge 0} $ 是鞅 $ Q $ .