幾何布朗運動的條件期望
我正在回顧過去的事情，突然之間我很困惑。一些驗證將有助於以下內容。
$$ \mathbb{E}[e^{\sigma W(t)}|{\cal F}_s] = \mathbb{E}[e^{\sigma (W(t) - W(s) + W(s))}|{\cal F}_s] = \mathbb{E}[e^{\sigma (W(t) - W(s))}|{\cal F}_s]e^{W(s)} $$ $$ =\mathbb{E}[e^{\sigma (W(t) - W(s))}]e^{W(s)} =\frac{1}{2}\sigma^2 (t-s) e^{W(s)} $$
這是真的？
我們有
$$ \begin{equation} \sigma \left( W_t - W_s \right) \sim \mathcal{N} \left( 0, \sigma^2 (t - s) \right). \end{equation} $$ 讓 $ X \sim \mathcal{N} \left( 0, \xi^2 \right) $ ， 然後
$$ \begin{eqnarray} \mathbb{E} \left[ e^{X} \right] & = & \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \xi} \int_\mathbb{R} \exp \left{ x -\frac{x^2}{2 \xi^2} \right} \mathrm{d}x\ & = & \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \xi} \int_\mathbb{R} \exp \left{ -\frac{x^2 - 2 x \xi^2 \pm \xi^4}{2 \xi^2} \right} \mathrm{d}x\ & = & \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \xi} e^{\xi^2 / 2} \int_\mathbb{R} \exp \left{ -\frac{\left( x - \xi^2 \right)^2}{2 \xi^2} \right} \mathrm{d}x\ & = & e^{\xi^2 / 2}, \end{eqnarray} $$ 我們將倒數第二行中的被積函式辨識為 a 的密度 $ \mathcal{N} \left( \xi^2, \xi^2 \right) $ 合為一的正態隨機變數。因此
$$ \begin{equation} \mathbb{E} \left[ e^{\sigma \left( W_t - W_s \right)} \right] = \exp \left{ \frac{1}{2} \sigma^2 (t - s) \right}. \end{equation} $$ 您的其他步驟是正確的，即
$$ \begin{equation} \mathbb{E} \left[ \left. e^{W_t} \right| \mathcal{F}_s \right] = \exp \left{ W_s + \frac{1}{2} \sigma^2 (t - s) \right} \end{equation} $$