遠期利率在遠期措施詳細證明下是鞅
所以我讀了另一篇關於這個的文章：
但我看不到如何從那裡到那裡：
$ F \left(t,T_n \right)P \left(t,T_{n+1}\right) = \frac{1}{\tau} \left(P \left(t,T_{n}\right)-P \left(t,T_{n+1}\right)\right) $
$ \frac{F \left(t,T_n \right)P \left(t,T_{n+1}\right)}{P \left(t,T_{n+1}\right)}=E^{T} \left[ \left. \frac{F \left(S,T_n \right)P \left(S,T_{n+1}\right)}{P \left(S,T_{n+1}\right)} \right| \mathcal{F}_t\right] $
如果有人能深入解釋這段話，我會很高興。
謝謝
的措施 $ \mathbb{Q} $ 與貨幣市場賬戶相關聯 $ t \mapsto \beta_t = \exp \int_{0}^{t} r_s d s $ . 的措施 $ \mathbb{Q}^T $ 與零息債券相關 $ t \mapsto P_{tT} $ 在哪裡 $ P_{tT}:=\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}t \left[ \frac{\beta_t}{\beta_T} \right] $ . 我們知道 Radon-Nikodym 之間的導數 $ \mathbb{Q}^{T_1} $ 和 $ \mathbb{Q}^{T_2} $ 是（誰）給的 $$ t \mapsto \frac{d \mathbb{Q}^{T_2}}{d\mathbb{Q}^{T_1}}(t)=\frac{P{tT_2}}{P_{0T_2}} \cdot \frac{ P_{0T_1} }{ P_{tT_1} } $$ 我們通過貝氏定理知道支付函式 $ X $ 當時觀察到 $ T $ 那 $$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^{T_2}}{t} \left[ X_T \right] = \frac{\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^{T_1}}{t} \left[ X_T \cdot \frac{d \mathbb{Q}^{T_2}}{d\mathbb{Q}^{T_1}}(T) \right]}{\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^{T_1}}{t} \left[ \frac{d \mathbb{Q}^{T_2}}{d\mathbb{Q}^{T_1}}(T) \right]} $$ 等效地， $$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^{T_2}}{t} \left[ X_T \right] = \frac{\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^{T_1}}{t} \left[ X_T \cdot \frac{d \mathbb{Q}^{T_2}}{d\mathbb{Q}^{T_1}}(T) \right]}{\frac{d \mathbb{Q}^{T_2}}{d\mathbb{Q}^{T_1}}(t)} $$ 現在我們的工具已經準備好了，讓我們開始攻擊吧。證明過程 $$ F(t;T_1,T_2)=\frac{1}{\tau} \left[ \frac{ P{tT_1} }{ P_{tT_2} } -1 \right] $$ 是一個 $ \mathbb{Q}^{T_2} $ 鞅，等價於證明對債券比率的相同陳述 $ X_T :=P_{TT_1} / P_{T T_2} $ . 進行如下操作： $$ \begin{align} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^{T_2}}t \left[ \frac{ P{TT_1} }{ P_{TT_2} } \right] & = \frac{\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^{T_1}}t \left[ \frac{d \mathbb{Q}^{T_2}}{d\mathbb{Q}^{T_1}}(T) \cdot \frac{ P{TT_1} }{ P_{TT_2} } \right]}{ \frac{d \mathbb{Q}^{T_2}}{d\mathbb{Q}^{T_1}}(t) } \ & = \frac{\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^{T_1}}t \left[ \frac{ P{TT_2} P_{0T_1} }{ P_{TT_1} P_{0T_2} } \cdot \frac{ P_{TT_1} }{ P_{TT_2} } \right]}{ \frac{ P_{tT_2} P_{0T_1} }{ P_{tT_1} P_{0T_2} } } \ & = \frac{ P_{tT_1}}{P_{tT_2} } \end{align} $$