鞅
如何使用伊藤引理推導等價鞅測度
有人能解釋一下如何得到下面的方程 27.14 嗎？我了解 Ito 引理的第一次用法得到 $ d(\ln f-\ln g) $ 但我不明白如何使用伊藤引理去從 $ d(\ln \frac{f}{g}) $ 到 $ d(\frac{f}{g}) $ . 有人可以幫助闡明這個過程嗎？
你有兩個程序， $ X_t:=\log{\frac{f}{g}} $ 和 $ Y_t=\frac{f}{g} $ . 注意，我用 $ \log $ 為自然對數。因此我們有 $ Y_t=\exp{(X_t)} $ . 因此，應用伊藤：
$$ dY_t=\exp{(X_t)}dX_t + \frac{1}{2}\exp{(X_t)}d\langle X,X\rangle_t $$ 使用動態 $ X_t $ ，我們得到
$$ dY_t=\frac{f}{g}[-\frac{(\sigma_f-\sigma_g)^2}{2}dt+(\sigma_f-\sigma_g)dz]+\frac{f}{g}\frac{(\sigma_f-\sigma_g)^2}{2}d\langle z, z\rangle_t $$ 我認為 $ z $ 是布朗運動，這樣 $ d\langle z,z\rangle_t=dt $ ，這會產生所需的結果。如果 $ z $ 不是BM，請提供更多資訊。