鞅
我試圖解決這個關於最優停止理論的問題。我不知道如何開始。任何提示都會非常有幫助
讓 $ Z = (Zn){n=0,1,…,N} $ 是 Snell 信封 $ X = (Xn){n=0,1,…,N} $ 和 $ τ ∈ T_{0,N} $ . 讓 $ Z_n = M_n − A_n $ 是 Z 的 Doob 分解，則 $ Z_n^τ = M_n^τ − A_n^τ $ 是 Doob 分解 $ Z_n^τ $ （不要證明這一點）。
(a) 解釋原因 $ Aτ $ = $ A_N^τ $ .
(b) 因此，證明 $ Z_τ $ 是鞅當且僅當 $ A_τ $ = 0.
Snell 包絡線是最小的超鞅，大於 $ X $ . 自從 $ \tau \le N $ , 很明顯 $ A_N^{\tau} = A_{N\wedge \tau} = A_{\tau} $ .
對於 (b) 部分，請注意，根據 Doob 分解， $ M $ 是鞅， $ A $ 在增加， $ M_0=Z_0 $ ， 和 $ A_0=0 $ . 如果 $ Z^{\tau}= {Z_n^{\tau}}{n=1}^N $ 也是鞅，那麼 $$ \begin{align*} E(A{\tau}) &= E(A_N^{\tau}) \ &= E(M_N^{\tau} - Z_N^{\tau}) \ &= M_0 - Z_0=0. \end{align*} $$ 最後， $ A_{\tau}=0 $ ， 作為 $ A_{\tau} $ 是非負的。