條件期望的直覺視圖
我希望有人給我一個直覺的條件期望視圖。我的意思是：我一直通過公式來理解它，但我還沒有“看到”它是什麼。謝謝
你有一個懸而未決的問題，讓我試著給你一個金融方面的例子。
讓 $ (M_t) $ 做一個鞅，即一個公平的遊戲。平均而言，這些過程（他們的期望）不會增加或減少，它們保持不變。作為結果， $ \mathbb{E}[M_t]=M_0 $ ，即如果你現在問我我期望什麼價值 $ M $ 會有時間 $ t $ , 我平均希望它在起點 $ M_0 $ . 一個例子可能是公平遊戲的財富過程或折扣股票價格的價格過程（相對於適當的衡量標準）。
如果時間過去了，現在會發生什麼。我們不在時間 $ t=0 $ 不再，但中途？明天你可以問我我期望在哪裡 $ M $ 將在一周內。更正式地說，這轉化為 $ \mathbb{E}[M_t\mid\mathcal{F}_s] $ 如果 $ s<t $ . 自從 $ M $ 是鞅，當然， $ \mathbb{E}[M_t\mid\mathcal{F}_s]=M_0 $ 我仍然會回答說，平均而言，我希望在它開始的地方，在 $ M_0 $ .
這裡， $ \mathcal{F}_s $ 代表我收集到的所有資訊，直到時間 $ s $ . 這可能會提高我的期望。假設我今天問你蘋果股票一年內的交易情況。要麼你有一個水晶球，要麼猜一個數字，這個數字是 $ \mathbb{E}[M_t] $ . 我可以在 6 個月後再問你一次，這取決於接下來半年會發生什麼，你的期望可能已經改變。畢竟，不確定性略有下降，我們對可能發生的事情有了更好的了解。如果我在 11 個月內問你，你可以給出一個合理的猜測等等。因此，隨著可用資訊的增加，您的期望會發生變化。條件期望抓住了這個概念。 $ \mathbb{E}[M_t\mid\mathcal{F}_s] $ 真的只意味著你所期望的 $ M_t $ 直到時間得到資訊 $ s $ .
因此，涉及條件期望的規則和公式非常直覺。
- 讓 $ s=0 $ . 我們通常假設 $ \mathcal{F}_0={\emptyset,\Omega} $ . 這與完全沒有資訊是一樣的。畢竟，在時間為零時，您無法收集任何具體的進一步資訊。因此，$$ \mathbb{E}[M_t\mid {\emptyset,\Omega}] = \mathbb{E}[M_t]. $$這意味著調節 $ F_0 $ 根本無助於提高您的期望。這概括如下。讓 $ M $ 獨立於 $ \mathcal{G} $ . 然後， $ \mathbb{E}[M_t\mid \mathcal{G}] = \mathbb{E}[M_t] $ . 想像一下，如果 $ \mathcal{G} $ 根本不包含任何關於 $ M $ . 在財務上，如果我再次詢問您有關蘋果股票的資訊，並且您收集了一些有關日本便士股票的資訊，這可能不會改善您對蘋果的預測，並且蘋果的價格可能獨立於日本便士股票。因此，如果我在觀察日本便士股票一個月後讓你預測蘋果，你的預測不會有任何改善。但是，如果您觀察過去 4 週的 Apple 價格，這可能有助於您更好地預期未來的 Apple 價格。
- 假設你有一個有限的過程 $ (M_t)_{t\in[0,T]} $ 在某個時候結束 $ T $ . 然後， $ \mathbb{E}[M_T\mid \mathcal{F}_T] = M_T $ . 在財務方面，如果我問你蘋果 2019 年 1 月 3 日的股價，你知道蘋果公司在 2019 年 1 月 3 日之前的所有價格，那麼你當然可以絕對肯定地告訴我你期望的價值。這概括如下。如果 $ M_t $ 是 $ \mathcal{F}_t $ - 可測量的，那麼$$ \mathbb{E}[M_t\mid \mathcal{F}_t]= M_t. $$
這個答案已經太長了，我想繼續，但讓我總結如下。了解這一點至關重要 $ \mathbb{E}[X] $ 是一個實數，你的標準期望。物體 $ \mathbb{E}[X\mid \mathcal{F}_t] $ 是一個隨機變數。它確實取決於 $ \mathcal{F}_t $ 反過來，這取決於隨機過程的（隨機）實現。