是磷(t,S)磷(,T_)磷(噸,小號)磷(噸,噸)frac{P(t,S)}{P(t,T)}鞅？

認為 $ r_t $ 遵循 CIR 流程並 $ P(t,T)=E[exp(-\int_{t}^{T}r_s ds)|F_t] $ .我要展示 $ \frac{P(t,S)}{P(t,T)} $ ( $ S<T $ ） 是一個 $ F_t $ -martingale 在正向測量下，但很困惑！我需要解決 CIR 流程嗎？我應該使用鞅的定義嗎？請指導我！那謝謝啦。

根據定義 $ T $ - 前向測量 $ P_T $ , 過程 $ \Big{\frac{P(t,S)}{P(t,T)} \mid t\geq 0\Big} $ 是度量下的鞅 $ P_T $ , 不假設短期利率的任何特定模型 $ r_t $ . 也就是說，這個鞅屬性是模型無關的。

但是，作為一個很好的練習，您還可以執行以下操作：

1. 給定風險中性測度下的 CIR 利率模型 $ P $ ，計算債券價格。
2. 求 Radon-Nykodim 的導數 $ T $ -關於風險中性度量的前向度量，即， $ \frac{dP_T}{dP}\big|_t $ ， 為了 $ 0 \leq t \leq T $ .
3. 在下面找到債券價格公式或 SDE $ T $ -前向措施。
4. 顯示該過程 $ \Big{\frac{P(t,S)}{P(t,T)} \mid t\geq 0\Big} $ 是下鞅 $ T $ -前向措施。

我們猜測 $ \mathbb{Q} $ 是前向測量。

$$ \mathbb{E^Q}\left[\frac{P(t,S)}{P(t,T)}|\mathcal{F}s\right]=\mathbb{E^P}\left[\frac{P(t,S)}{P(t,T)}\frac{e^{-\int{s}^{T}r_u,du}}{P(s,T)},|,\mathcal{F}s\right] $$ $$ \hspace{5cm}=\frac{1}{P(s,T)}\mathbb{E^P}\left[\frac{P(t,S)}{P(t,T)}{e^{-\int{s}^{T}r_u,du}},|,\mathcal{F}s\right] $$ $$ \hspace{6.9cm}=\frac{1}{P(s,T)}\mathbb{E^P}\left[\mathbb{E^P}\left[\frac{P(t,S)}{P(t,T)}{e^{-\int{s}^{T}r_u,du}},|,\mathcal{F}_t\right]|\mathcal{F}s\right] $$ 我們有 $$ \hspace{0.3cm}\mathbb{E^Q}\left[\frac{P(t,S)}{P(t,T)}|\mathcal{F}s\right]=\frac{1}{P(s,T)}\mathbb{E^P}\left[{e^{-\int{s}^{t}r_u,du}}\frac{P(t,S)}{P(t,T)}\mathbb{E^P}\left[e^{-\int{t}^{T}r_u,du,},,|,\mathcal{F}t\right]|\mathcal{F}s\right] $$ $$ \hspace{1.5cm}=\frac{1}{P(s,T)}\mathbb{E^P}\left[{e^{-\int{s}^{t}r_u,du}}\frac{P(t,S)}{P(t,T)}P(t,T)|\mathcal{F}s\right] $$ $$ =\frac{1}{P(s,T)}\mathbb{E^P}\left[{e^{-\int{s}^{t}r_u,du}}P(t,S)|\mathcal{F}s\right] $$ 然後 $$ \mathbb{E^Q}\left[\frac{P(t,S)}{P(t,T)}|\mathcal{F}s\right]=\frac{1}{P(s,T)}{e^{\int{0}^{s}r_u,du}},,\mathbb{E^P}\left[{e^{-\int{0}^{t}r_u,du}}P(t,S)|\mathcal{F}s\right] $$ 我們知道貼現債券價格的過程 $ {e^{-\int{0}^{t}r_u,du}P(t,S)} $ 是鞅 $ \mathbb{P} $ ，因此我們有 $$ \hspace{1cm}\mathbb{E^Q}\left[\frac{P(t,S)}{P(t,T)}|\mathcal{F}s\right]=\frac{1}{P(s,T)}{e^{\int{0}^{s}r_u,du}}{e^{-\int{0}^{s}r_u,du}}P(s,S) $$ $$ =\frac{P(s,S)}{P(s,T)} $$ $$ $$ 編輯：或者， $$ \begin{align*} \mathbb{E^Q}\left[\frac{P(t,S)}{P(t,T)}\mid \mathcal{F}s\right] &= \frac{1}{P(s,T)}\mathbb{E^P}\left[{e^{-\int{s}^{t}r_u,du}}P(t,S)\mid\mathcal{F}s\right]\ &=\frac{1}{P(s,T)}\mathbb{E^P}\left[{e^{-\int{s}^{t}r_u,du}}\mathbb{E^P}\Big(e^{-\int_t^Sr_u,du} \mid \mathcal{F}_t \Big)\mid\mathcal{F}_s\right]\ &=\frac{1}{P(s,T)}\mathbb{E^P}\left[\mathbb{E^P}\Big(e^{-\int_s^Sr_u,du} \mid \mathcal{F}_t \Big)\mid\mathcal{F}_s\right]\ &= \frac{1}{P(s,T)}\mathbb{E^P}\left[e^{-\int_s^Sr_u,du}\mid\mathcal{F}_s\right]\ &= \frac{P(s,S)}{P(s,T)}. \end{align*} $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/19173