Libor 利率和鞅
我們知道遠期 Libor 利率 $ L(t, T, T + \tau) $ ，在沒有套利的情況下，是度量下的鞅 $ T + \tau $ ， IE $ Q^{T+\tau} $ . 在這種情況下：
$$ \tag{1}\label{1} L(t, T, T + \tau) = \mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ L(T, T, T + \tau \right], $$
和 $ t \leq T $ . 這意味著在這種特定的即期 Libor 利率指標下的預期 $ L(T, T, T + \tau) = \hat{L}(T, T + \tau) $ 可以解析計算。
現在，簡而言之，我想知道這個屬性是否可以擴展到遠期 Libor 利率：
$$ \tag{2}\label{2} L(t, T, T + \tau) = \mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ L(s, T, T + \tau \right], $$
和 $ t \leq s \leq T $ . 如果你能回答這個問題，就沒有必要繼續閱讀了。
結果在 $ \eqref{1} $ 對於許多計算非常有用。例如，它用於普通掉期估值，表明其價格僅取決於估值日期觀察到的利率期限結構。
讓我們分析一個更簡單的案例。想像一下以下付款流：
⋅------x//////////x------> | | | t Tx = T Tp = T + τ其中
Tx代表固定日期和Tp付款日期。該契約當時的價值 $ t \leq T_x $ 是（誰）給的：$$ \begin{align} V(t) &= \mathbb{E}_t^Q \left[ D(t, T + \tau) \cdot \tau \cdot L(T, T, T + \tau) \right]\ V(t) &= P(t, T + \tau) \cdot \tau \cdot \mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ L(T, T, T + \tau) \right] \end{align} $$
在哪裡 $ D(t, T) $ 表示折扣因子和 $ P(t, T) $ 貼現債券或零息債券。前面的等式產生（使用定義在 $ \eqref{1} $ ):
$$ V(t) = P(t, T + \tau) \cdot \tau \cdot L(t, T, T + \tau) $$
到目前為止，一切都很好。現在我想計算廣義支付流的價格，由下式給出：
⋅------x----+//////////+----x------> | | | | | t Tx Tb Te Tp其中
Tx表示確定日期、Tb應計開始日期、應計Te結束日期和Tp付款日期。該契約當時的價值 $ t \leq T_x $ 是（誰）給的：
$$ \begin{align} V(t) &= \mathbb{E}_t^Q \left[ D(t, T_p) \cdot \left(T_e - T_b \right) \cdot L(T_x, T_b, T_e) \right]\ V(t) &= P(t, T_p) \cdot \left(T_e - T_b \right) \cdot \mathbb{E}_t^{T_p} \left[ L(T_x, T_b, T_e) \right] \end{align} $$
最後一個期望似乎在分析上難以處理，對吧？我想知道的是我必須施加哪些限制才能分析解決它。例如，僅匹配結束日期和付款日期是否足夠，即 $ T_e = T_p $ ，這產生：
$$ \begin{align} V(t) &= P(t, T_p) \cdot \left(T_p - T_b \right) \cdot \mathbb{E}_t^{T_p} \left[ L(T_x, T_b, T_p) \right] \end{align} $$
如果這個期望可以解決 $ \eqref{2} $ 是真的。也許 $ \eqref{2} $ 可以使用 Libor 遠期利率的定義來證明：
$$ L(t, T, T + \tau) = \frac{1}{\tau} \cdot \left( \frac{P(t, T)}{P(t, T + \tau)} - 1 \right) $$
任何想法或這是不可能的，兩者都是 $ T_x = T_b $ 和 $ T_e = T_p $ 應該匹配以獲得分析上易於處理的期望？
最後，為了完整起見，我想指出，當 $ T_e \neq T_p $ ，需要進行凸度調整。這個問題是關於詢問是否需要進行凸度調整或其他任何事情 $ T_x \neq T_b $ .
我們只需要使用條件期望的塔屬性（ $ t\leq s\leq T $ ):
$$ \mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ L(s, T, T + \tau)\right] =\mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ \mathbb{E}_s^{T + \tau} \left[ L(T, T, T + \tau)\right] \right] $$ $$ = \mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ L(T, T, T + \tau)\right] = L(t, T, T + \tau) $$