證明 Z(t)/Z(0) 是正均值 1 鞅
我們看一個標準的無紅利 Black-Scholes 模型，這裡有一個過程 Z，其定義為： Z(t)=(S(t)/H)^p ，其中 H 是一個正常數，p=1 -2r/sigma^2
我現在被要求證明 Z(t)/Z(0) 是一個正均值 1 鞅。
我的第一個直覺告訴我使用 Ito 的公式來獲得 dZ(t) 並且不應該包含 dt 項，但是當我使用 Ito 時，我不知何故一直看到 dt 項。我越來越沮喪。有人可以幫我弄這個嗎？從那裡開始，我會期望 E(Z(t))=1。
- 麥茲
$$ Z_t = f(S_t) := \left( \frac{S_t}{H} \right)^p $$ $$ dZ_t = \partial_x f(S_t) dS_t + \frac{1}{2} \partial^2_{xx} f(S_t) d\langle S \rangle_t = p\frac{S_t^{p-1}}{H^p} dS_t + \frac{1}{2} p(p-1) \frac{S_t^{p-2}}{H^p} S_t^2 \sigma^2 dt $$ 因此 $$ dZ_t = Z_t \left( p r + \frac{1}{2} p(p-1) \sigma^2 \right)dt + p Z_t \sigma dW_t $$ 以便 $$ \frac{dZ_t}{Z_t} = \mu dt + p\sigma dW_t $$ 現在
$$ \mu = p r + (p\sigma^2 )\left( \frac{1}{2} (p-1)\right) = r - 2 \frac{r^2}{\sigma^2} - (\sigma^2-2r) \frac{r}{\sigma^2} = 0 $$ 這證明了 $ Z $ 是鞅