聖彼得堡彩票定價和短期投資期限
我是一名統計學家（沒有紮實的金融背景）。請轉發給我一本書\章節\論文以解決以下一般問題。假設我們有一隻股票的月收益率分佈如下：P(R=1%)=0.999, P(R=10000%)=0.001。平均月回報率在11%左右，非常不錯。儘管如此，對於短期（例如，1-2 年）的典型投資者而言，每月獲得超過 1% 的機率非常小，因此該股票並不像平均回報所暗示的那樣具有吸引力。這意味著，這種股票的價格應該會下降，直到達到更可接受的曲線 P(R=3%)=0.99；這隻股票的市盈率往往較低，因為它的回報分配不便。現在假設有一千隻這樣的股票，它們的收益是獨立的。在這種情況下，作為一個組，他們有良好的回報情況（回報跳躍不再罕見），因此該組不應受到較低市盈率的懲罰。那麼，這種股票應該單獨定價（基於其回報情況），還是在一組類似的股票中定價？
多麼棒的問題——它涉及到量化金融的許多核心問題。這個答案可能比你想像的要多得多，但它太有趣了，不能放棄。
參考
大多數情況下，這個主題處於這三個高度相關主題的交匯處：風險中性估值、理性定價和資產定價基本定理。簡而言之：投資者願意支付的價格取決於感知到的風險。那麼，我們如何決定哪些風險決定價格呢？
正如您的問題所示，風險中性定價是最難掌握的領域之一，因為它經常違背直覺。因此，很難找到不包含數學或幾乎不需要金融知識的論文。但是，我認為這三個可能符合要求：
- 風險中性估值：簡要介紹（第 1 部分） ——這篇標題恰當但冗長的文章使用與您描述的情況相似（但不一樣！見下文）的情況來激發其分析。
- 什麼是……免費午餐？——對無套利定價和資產定價基本定理的快速、非學術性的介紹。它的簡潔性可能使它成為一個誘人的起點，但最好先閱讀它，因為它比第一個參考文獻更適用。另請注意，儘管構成其論點的癥結，但“風險中性”一詞並未出現在其中的任何地方；記得我說過這些主題非常相關。
- 風險中性機率解釋——這可能是最完整的處理方法，並以更傳統的方式使用 Arrow 證券開始。在披露中，在回答您的問題之前我並不熟悉這個，但我發現它與我在維基百科頁面上的第一選擇配對以進行合理定價，並且在閱讀後認為它是合適的。
一些背景
現在，如果您仍在閱讀 - 或仍然關心 - 我將嘗試充實為什麼這些欄位與您的問題相關。
你一針見血：人們對價值有主觀判斷，基於風險厭惡或他們自己對結果機率的解讀。此外，這些觀點會受到上下文的影響（當您設置投資組合或短期視野時）。這幾乎不是客觀定價框架的基礎，但我們知道風險會影響價格。如果我們甚至不能就從哪裡開始達成一致，我們怎麼能就定價提出索賠呢？
我們的出發點是證券的價格是對其未來價值的預期。對於單個投資者而言，該價值取決於一組主觀確定的機率。理性或風險中性定價的動機是找到一組機率，在該機率下任何投資者對風險結果變得漠不關心（因此，“風險中性”）。雖然這聽起來像是用另一個問題代替了一個問題，但實際上很少有方法可以在市場上的所有證券中始終如一地做到這一點，這意味著不允許出現套利機會。
更明確地說，風險中性機率測度使資產的預期回報等於目前的無風險利率。只要市場是“完整的”，那麼就可以立即為所有資產推導出風險中性機率測度，從而形成統一且客觀的定價框架。1979 年，當 Cox、Ross 和 Rubenstein 首次使用這些想法為期權定價時，燈泡真正熄滅了。
注意——我不希望用這幾段話說服任何人；請參閱隨附的參考資料以獲得完整的解釋！
現在，事實是，從資產定價的角度來看，您的問題有些無聊，因為您已經指定了相關證券的完整回報分佈。（事實上，我認為在許多方面，量化分析師的作用歸結為估計回報分佈。）基本定理告訴我們，資產價格因此必須是其（目標）預期值，否則就會產生套利機會。如果我們不知道機率或未來價格，或者兩者都不知道，事情會變得更加有趣——這就是開發風險中性定價的原因。
一個更直接的答案，有點…
因此，儘管風險中性機率來自市場中的許多證券，但我認為這與您的問題的“價格作為投資組合”選項不同。很難找到一種完全孤立定價的證券；利率或其他基礎資產通常會發揮一定作用。一般來說，只要已知這些成分是無套利的，在為從中派生的某人定價時，就沒有必要進行風險中性練習。
此外，我將您的問題解釋為使用投資組合作為改變感知風險的一種手段；您可以輕鬆地增加視野而不呼叫其他證券。所以要明確一點，我將您的問題視為詢問“不同的感知風險如何影響證券價格”，而不是“證券定價是孤立的還是在投資組合的背景下？”
所以答案實際上可能是 (c) 以上都不是：證券是單獨定價的，但在風險中性的市場環境中。出於所有意圖和目的，我相信這可以解決您的“個人”定價問題，但可能出於與您預期不同的原因。
…還有一點 MPT
最後，作為統計學家，您可能對如何量化問題的主觀方面感興趣。這歸結為 1952 年引入的日益被錯誤命名的“現代投資組合理論”，哈里·馬科維茨因此獲得了諾貝爾獎。請注意，雖然這些概念非常重要，但如果您今天發現有專業人士在實踐中使用它們，我會感到驚訝。
讓我們通過說這些證券來概括您的問題，稱它們為 $ S $ , 具有機率的二項分佈 $ p $ . 如果我們考慮多個持有期，那麼它們將是伯努利分佈的，但由於這將達到線性比例，我在這裡忽略它。因此，一種證券的預期回報是 $ p $ 有變異數 $ p(1-p) $ .
將其與持有的投資組合進行比較 $ n $ 此類證券，分配 $ \frac{1}{n} $ 你的資本給每個人。預期投資組合收益為
$$ E[ \sum^n\frac{1}{n}S] = E[S] = p $$ 它的變異數是 $$ Var[\sum^n\frac{1}{n}S] = \frac{Var[S]}{n} = \frac{p(1-p)}{n}. $$ 這就是工作的多元化！預期回報相同，但波動性較低。
你問：如果這個新的投資組合明顯更好，我不應該為此付出更多嗎？交易者立即開始排隊將其出售給您，這是無套利法則的一個特別昂貴的例證。
這可能有幫助，也可能沒有幫助，因為我沒有任何東西可以向您指出專門解決您提到的分佈的高偏度問題。然而，這聽起來可能是一種特殊的風險，這肯定會影響到它是否會被定價。
在標準資本資產定價模型中，邊際投資者持有接近市場投資組合的東西，因此重要的是資產與市場投資組合的共變異數。因此，只要好事件的機率獨立於市場投資組合的整體表現，教科書上的金融答案就是這樣的特殊風險會分散，因此股票將根據預期價值定價（只要因為它相對於市場組合來說很小）。
在實踐中，事情並不是那麼清楚，而且特殊風險畢竟可能會被定價（因此股票會以折扣價交易）。參見例如 Malkiel 和 Xu (2006)：http ://www.utdallas.edu/~yexiaoxu/IVOT_H.PDF 。
再一次，其他人發現，具有高特殊波動性的股票實際上具有較低的預期收益，如 Ang、Hodrick、Xing 和 Zhang（2006 年）。