預期收入問題

一個甕包含相同數量的綠色和紅色球。假設您正在玩以下游戲。你從甕中隨機抽出一個球並記下它的顏色。然後將球放回甕中，重複選擇過程。每次撿起一個綠球，您將獲得 1 盧比。第一次撿到紅球時，支付 1 盧比，遊戲結束。您從這款遊戲中獲得的預期收入是..

給出的答案是 0，但如果你連續抽到綠球，隨著收入的增加，它不應該是正數嗎？請幫我澄清這個疑問。

想想所有可能的結果。例如，如果你的第一個球是紅球，你會損失 1 盧比（機率為 1/2），如果你得到一個綠球，然後是一個紅球，你最終會得到 0 盧比（機率為 1/4），如果相反，您首先得到 2 個綠球，然後是一個紅球，最終得到 1 盧比（機率為 1/8），等等。

期望值為

$$ E(V)=(-1)\frac12+(0)\frac14+(1)\frac18+(2)\frac1{16}\dots=\sum_{n=1}^\infty(n-2)\frac{1}{2^n}=0 $$

最後一個等式來自兩個眾所周知的結果： $ \sum_{n=1}^\infty\frac{n}{2^n}=2 $ 和 $ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n}=1 $

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/29866