證明預期效用和均值效用之間的關係
認為 $ U(x) $ 是一個凹的單調遞增函式。如果我們知道
$$ U\left[E(p)\right] > U\left[E(q)\right] $$ 在哪裡 $ p $ 和 $ q $ 是機率分佈，我們如何證明
$$ E(U_p) > E(U_q) $$
你想證明的結論並不總是正確的。我會給你一個圖形和數學的答案。
圖形分析
考慮下圖中的範例：
有一張彩票，有預期的回報 $ z_1 $ 和 $ z_2 $ , 和平均 $ E(z) $ . 就效用而言，該彩票的期望值為 $ U[E(z)] $ .
現在，假設第二次彩票，更高 $ z_1 $ 和更小 $ z_2 $ ，使得期望值相同，即 $ E(z) $ . 這個彩票的期望值是一樣的， $ U[E(z)] $ . 然而，由於第二次抽籤的變異數較小，第二次抽籤中的點 E 更接近於 D。（在沒有不確定性的極端情況下，D 和 E 重合）。換句話說， $ E[u(z)] $ 在彩票中低於 $ E[u(z)] $ 在彩票二中，即使他們平均支付相同的費用。
你的陳述的矛盾立即出現。拿剛剛介紹的第二張彩票，減少 $ z_1 $ 由一個小 $ \epsilon $ . 現在，彩票的預期收入略低於 $ E(z) $ ，這與您問題中的**關係相反。**明顯有一個小 $ \epsilon $ 使得之間的關係 $ E[u(z)] $ 在這兩個彩票中仍然如故。
對於喜歡冒險的個人（不確定性優於確定性，效用函式是凸的），證明遵循相同的邏輯。
實際上，您的陳述確實成立的唯一情況是風險中性。這也可以在圖表中輕鬆看出。
數學分析
首先，我們知道 $ \dfrac{d U(x)}{d x}>0 $ . 那麼，確實如此：
$$ U(x_p + \pi)=E[U(x_p)] $$ $$ U(x_q + \phi)=E[U(x_q)] $$ 其中左側括號內的項是確定性等價項。的標誌 $ \pi $ 和 $ \phi $ 取決於效用函式的性質。有以下三種情況：
- 風險厭惡
如果效用是凹的（即代理人是風險厭惡的）， $ \pi $ 和 $ \rho $ 是積極的。所以：
$$ U(x_p) < U(x_p + \pi) = E[U(x_p)] $$ $$ U(x_q) < U(x_q + \phi) = E[U(x_q)] $$ 假如說 $ U(x_p) > U(x_q) $ :
$$ E[U(x_p)] = U(x_p + \pi) > U(x_p) > U(x_q) $$ 然而， $ E[U(x_q)] > U(x_q) $ . 很明顯，關於兩者之間的關係，不能再多說什麼了 $ E[U(x_p)] $ 和 $ E[U(x_q)] $ . 你想證明的結果在這種情況下不一定成立。
風險接受
證明是完全一樣的，只是顛倒了符號。
風險中性
$ \pi $ 和 $ \phi $ 為零。
$$ U(x_p) = E[U(x_p)] $$ $$ U(x_q) = E[U(x_q)] $$ 假設 $ U(x_p) > U(x_q) $ 暗示：
$$ E[U(x_p)] > E[U(x_q)] $$ 因此，在這種情況下，您要證明的結論是正確的。
