von-Neumann-Morgenstern 訴伯努利效用函式
大量時間用於區分大 $ U $ （馮諾依曼摩根斯坦）訴。小的 $ u $ （伯努利效用函式）。v.NM 函式從彩票空間映射到實數，因為它表示在彩票空間上定義的偏好，而伯努利是在一定數量的貨幣上定義的。
為什麼這種區別在預期效用理論中如此重要？此外，這種區別使我們能夠實現在預期效用理論中的重要意義是什麼？以這種方式建構的期望效用理論最直覺的理解方式是什麼？
伯努利效用代表對貨幣結果的偏好。在某種程度上，這與在消費束上定義的典型效用函式沒有什麼不同。
相比之下，vNM 效用表示對貨幣結果彩票的偏好。因此，vNM 效用的參數是一個與作為伯努利效用參數的對象相關但絕對不同的對象。
例如，伯努利效用函式允許我們比較效用 $ $5 $ 擁有 $ $7 $ ，而 vNM 實用程序允許我們比較彩票中的實用程序 $ (0.2\otimes$5,0.8\otimes$7) $ —有 $ $5 $ 和 $ 20% $ 和 $ $7 $ 和 $ 80% $ — 到彩票 $ (0.6\otimes$5,0.4\otimes$7) $ —有 $ $5 $ 和 $ 60% $ 和 $ $7 $ 和 $ 40% $ .
從這個意義上說，伯努利和 vNM 效用函式之間的區別是必要的（因為它們應用於不同的對象）而不是重要的（因為它們最終都代表某種偏好），正如@denesp 在他的評論中所說。
此外，如果我們只考慮退化彩票，即機率是 $ 0 $ 或者 $ 1 $ ，則 vNM 和伯努利效用重合。也就是說，伯努利效用 $ $5 $ 與具有的 vNM 實用程序完全相同 $ $5 $ 和 $ 100% $ . 因此，將伯努利與 vNM 效用函式區分開來使我們能夠檢查不確定性的影響，而不僅僅是“東西”的數量（無論是貨物還是金錢）。
最後，將效用定義為金錢還使我們能夠研究人們對風險的態度。