您如何評估共變異數預測？
假設您有兩個關於一組固定的共變異數預測的來源 $ n $ 資產、方法 A 和方法 B（您可以將它們視為來自兩個供應商的黑盒預測），它們基於給定時間點的可用數據而聞名。假設您還觀察了那些 $ n $ 下一個時期的資產（比如一年的價值）。您將使用哪些指標來評估這兩個共變異數預測的質量？什麼統計測試？
作為背景，共變異數的使用將在一個普通的均值變異數優化框架中，但人們可以假設對 alpha 的來源知之甚少。
編輯：我認為，預測共變異數矩陣與其他預測任務有點不同。在某些應用中，對共變異數的特徵向量進行良好預測會有所幫助，但特徵值並不那麼重要。（我正在考慮一個人的投資組合是 $ \Sigma^{-1}\mu $ , 重新縮放, 其中 $ \Sigma $ 是預測共變異數，並且 $ \mu $ 是預測回報。）在這種情況下，預測質量的指標應該相對於預測規模保持不變。在某些情況下，似乎預測第一個特徵向量更重要（像 beta 一樣使用它）等。這就是為什麼我一直在尋找專門用於量化金融的共變異數預測方法。
你是對的：評估波動率預測與評估一般預測有很大不同，它是一個非常活躍的研究領域。
方法可以按多種方式分類。一個標準是考慮單一預測（例如，特定投資組合的回報時間序列）與多個同時預測（例如，可投資領域）的評估方法。另一個標準是將直接評估方法與間接評估方法分開（稍後會詳細介紹）。
專注於單一資產方法：歷史上從業者最常用的方法，而 Barra 提倡的方法是“偏差”統計。如果您有預測退貨流程 $ r_t $ 和預測 $ h_t $ ，然後在預測正確的原假設下， $ r_t/h_t $ 有單位變異數。偏差統計定義為 $ T^{-1} \sum_{t=1}^T (r_t/h_t)^2 $ ，它以單位均值和 st.dev 漸近正態分佈。 $ 1/\sqrt{T} $ ，可用於假設檢驗。
另一種方法是 Mincer-Zarnowitz 回歸，其中在實際變異數之間進行回歸（例如，20 個交易日的估計 $ t $ 和 $ t+20 $ ) 和預測：
$$ \hat\sigma^2_t =\alpha +\beta h^2_t + \epsilon_t $$ 在零一測試聯合假設 $ \alpha=0, \beta=1 $ . Patton 和 Sheppard還推薦回歸，它會產生更強大的測試：
$$ (\hat\sigma_t/h_t)^2 =\alpha/h^2_t +\beta + \epsilon_t $$ 通過模擬隨機投資組合併為每個投資組合生成統計數據，或者通過假設跨資產對的預測和實現之間的關係相同，這兩個測試都可以（非嚴格地）擴展到多個預測：
$$ vech(\Sigma_t) = \alpha + \beta vech ( H_t) + \epsilon_t $$ 其中 $ vech $ 是矩陣上的“堆疊”運算元（在這種情況下，預測和實現的變異數矩陣）。 至於間接測試，一種流行的方法是風險模型比較的最小變異數組合。使用兩個或多個資產共變異數矩陣在單位預算約束下找到最小變異數組合。可以證明，真正的共變異數矩陣會導致投資組合的實際變異數最小。換句話說，更好的模型對沖更好。這種方法的優點是它確實考慮了預測的質量 $ \Sigma^{-1} $ ，用於實際優化問題；並且它不需要提供alphas，因此測試不是風險模型和經理技能的聯合測試。