歷史機率可以與風險中性機率測度相同嗎？
特別是讓我們考慮零貝塔資產 $ i $ （在 CAPM 意義上）。讓
- $ R_f $ 成為無風險利率
- $ R_i $ 資產回報 $ i $
- $ R_m $ 市場投資組合的回報
- $ \beta=\frac{Cov(R_i,R_m)}{Var(R_m)} $
- $ E_P (E_Q) $ 下的期望 $ P $ 歷史機率 ( $ Q $ 風險中性機率）
通過鞅性質，以下恆等式成立： $ E_Q[R_i]=R_f $
根據 CAPM，以下內容成立：
$ E_P[R_i]=R_f+\beta E_P[R_m-R_f]= E_Q[R_i]+\beta E_P[R_m-R_f] $
如果我們假設 $ \beta=0 $ ， 然後 $ E_P[R_i]=E_Q[R_i] $
我的問題是：是否 $ E_P[R_i]=E_Q[R_i] $ 意味著 $ P=Q $ ?
看起來你有一個簡單的線性代數問題，被一堆多餘的金融理論掩蓋了。
- 問：有嗎 $ \operatorname{E}_P[R] = \operatorname{E}_Q[R] $ 意味著 $ P = Q $ ?
- 答案：沒有
為技術簡單起見，讓我們考慮一個具有三個可能結果的機率空間，因此隨機變數或機率度量可以寫成一個簡單的向量 $ \mathbb{R}^3 $ .
反例： $$ P = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} \ \frac{1}{3} \ \frac{1}{3} \end{bmatrix} \quad Q = \begin{bmatrix} \frac{1}{5} \ \frac{2}{5} \ \frac{3}{5} \end{bmatrix} \quad \quad R = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ \frac{1}{4} \end{bmatrix} $$
你可以很容易地觀察到 $ \sum_i P_iR_i = \sum_i Q_iR_i = \frac{3}{4} $ 儘管 $ P \neq Q $ .
另一方面，讓 $ \mathcal{U} = \left{ \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}\right} $ （或任何構成基礎的向量集）。如果 $ \operatorname{E}_P[R] = \operatorname{E}_Q[R] $ 對於每個 $ R \in \mathcal{U} $ 那麼你會有 $ P = Q $ .
不，有兩個原因。首先是機率以風險中性參與者為條件。在某些數學系統中，不可能將效用和機率分開。Bruno de Finetti 認為機率不存在。它是幫助我們理解世界的心智概念，但它實際上並不真實。經濟學家的效用概念也是如此。你有沒有計算過購買牙膏的效用，或者你只是通過你的感覺來體驗這個決定？
使用風險中性機率的目的是通過使模型以特定的效用函式為條件，允許機率和效用的解耦。在頻率統計中，這種類型的調節並不少見。畢竟，當您調整模型時 $ \beta={0} $ 您正在強制一個機率結構，該結構允許您偽造它為零的空值。如果你改變你的空值，你就會改變你的機率結構。
第二個問題是頻率機率並不是真正的機率。充其量它們是最壞情況的頻率。頻率機率是極小極大分佈。這保證你有一個 $ \alpha $ 防止誤報的保護級別，但它會強制頻率出現實質性失真。它向您保證，無論您真正面對什麼參數，真實機率都不會比預期看到的更差。
貝氏機率是真實機率，可以賭，但它們包含主觀資訊。例如，假設您有兩名工程師，一名在廣泛的項目中擁有 30 年的經驗，另一名剛畢業。這位新工程師正在進行一項設計，並從項目附近的地面採集實物樣本。
工程師使用頻率模型或具有“平坦”先驗的貝氏模型執行統計計算。結果意味著設計。高級工程師拒絕了這個設計，說它可能會倒塌。高級工程師使用他或她從相關實證研究中收集到的超過 30 年的經驗和數據重新計算貝氏解決方案。更改後的計算意味著不同的設計。
奇怪的是，兩位工程師的計算對他們都是有效的。所以他們的機率也是有效的。高級工程師的機率陳述包含更多資訊，因此參數估計錯誤的風險較小，但如果初級工程師無法接觸到高級工程師，他們會按照最初的計劃建造它，這是一場賭博。由於缺乏資訊，這可能是一場糟糕的賭博，也可能是那裡的地面不尋常，樣本具有代表性，這是一場好賭。
對於足夠大的樣本，外部知識的影響變得微不足道，但對於小樣本，外部知識可能會強烈影響數據。這個有點有趣的結果是，如果你是一個賭徒，賭橋倒塌之類的事情是，如果你使用貝氏方法，那麼騙子或其他一些聰明的演員不能強迫你進入無論發生什麼事件，肯定會損失。在某些情況下，對於任何給定的問題，您都可以誘騙常客賭徒造成 100% 的損失。
你為保證能夠賭博而付出的代價是，解決同一個問題的兩位經濟學家會得到兩個不同的答案。想像一下當學生做出兩組不同的假設時對他們的論文進行評分？
好消息是，隨著樣本量變得足夠大，貝氏機率會收斂到真實機率。