T-forward 和 T*-forward 合約之間的計量變化？
我試圖通過計算下一個期望來證明需要對遠期利率進行凸度調整：
$$ \begin{align*} P(t_0, T_s)E^{T_s}\big(L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}_{t_0}\big). \end{align*} $$ 在哪裡 $ E^{T_s} $ 表示在 T-measure 下的期望 $ P(t,T_s) $ 作為現金和 $ t_0< T_s < T_e $ 和 $ L(T_s, T_s, T_e) $ 是觀察到的 libor 利率 $ T_s $ 期間 $ T_s $ 和 $ T_e $
為此，我想應用測量值的變化，以便我可以計算 T* 測量值下的期望值 $ P(t,T_e) $ 作為現金。
我知道要進行這種測量更改，我需要知道 Radon-Nikodym 導數，所以我需要這樣的東西：
$$ \begin{align*} P(t_0, T_s)E^{T_s}\big(L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}{t_0}\big)=P(t_0, T_s)E^{T_e}\big(\frac{dQ^{T_s}}{dQ^{T_e}}L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}{t_0}\big) \end{align*} $$ 我怎麼知道什麼值 $ \frac{dQ^{T_s}}{dQ^{T_e}} $ 從變化 $ Q^{T_s} $ 至 $ Q^{T_e} $ ? 從我目前所見，當您擁有試圖計算期望值的分佈時，很容易獲得 Radon-Nikodym 導數。例如，如果 $ X \sim N(0,1) $ 有密度函式 $ f(x) $ 我可以計算 $ E[X] $ 通常的積分方式，或者我可以引入一個度量 $ G $ 在哪裡 $ g(x) $ 可以是說的密度函式 $ X \sim N(0,100) $ 如果我計算它會是一樣的 $ E_g[X\frac{f(x)}{g(x)}] $ 所以這裡我的 Radon-Nikodym 導數是兩個密度函式的除法。我已經看到了不同的出版物，這些出版物用於從一種措施更改為另一種措施，但我似乎仍然不明白您如何知道每種情況使用什麼值，特別是在我現在問的情況下，因為我我不確定我應該使用的密度函式。
我腦海中唯一閃過的就是 $ L(T_s, T_s, T_e) $ 是鞅 $ Q^{T_e} $ . 所以也許我應該給它分配這個動態 $ dL(t, T_s, T_e) = \sigma_s L(t, T_s, T_e) d W_t^s $ 從那裡我可以得到一個密度函式，就像 $ g(x) $ 在我的例子中。那麼如果我能找到如何 $ L(T_s, T_s, T_e) $ 動態下 $ Q^{T_s} $ 也許我可以得到 $ f(x) $ 並且該部門將是我的Radon-Nikodym？
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根據定義 $ Q^{T_s} $ 對計價單位來說是風險中性的 $ P(t,T_s) $ ， 和 $ Q^{T_e} $ 對計價單位來說是風險中性的 $ P(t,T_e) $ ， 因此 $$ \left(\frac{dQ^{T_s}}{dQ^{T_e}}\right)t = \frac{P(t,T_s)}{P(t,T_e)} \frac{P(t_0,T_e)}{P(t_0,T_s)} $$ 在您正在查看的特定情況下，您正在計算固定 Libor 的遠期拖欠（拖欠，因為固定並支付 $ T_s $ ) 所以你需要的是 $$ \left(\frac{dQ^{T_s}}{dQ^{T_e}}\right){T_s} = \frac{P(T_s,T_s)}{P(T_s,T_e)} \frac{P(t_0,T_e)}{P(t_0,T_s)} = \frac{1}{P(T_s,T_e)} \frac{P(t_0,T_e)}{P(t_0,T_s)} $$ 在單曲線設置中，您可以定義 Libor 利率 $$ P(T_s,T_e) = \frac{1}{1+L(T_s, T_s, T_e) \text{yearfrac}(T_s,T_e)} $$ 因此 $$ \left(\frac{dQ^{T_s}}{dQ^{T_e}}\right)_{T_s} =\left(1+L(T_s, T_s, T_e) \text{yearfrac}(T_s,T_e)\right) \frac{P(t_0,T_e)}{P(t_0,T_s)} $$ 和 $$ E^{T_s}\left[L(T_s, T_s, T_e) \right] = \frac{P(t_0,T_e)}{P(t_0,T_s)} E^{T_e}\left[L(T_s, T_s, T_e) \left(1+L(T_s, T_s, T_e) \text{yearfrac}(T_s,T_e)\right)\right] \ = E^{T_e}\left[L(T_s, T_s, T_e) \right] + cvx $$ 和 $$ cvx = \frac{P(t_0,T_e)}{P(t_0,T_s)} E^{T_e}\left[L(T_s, T_s, T_e) \left(1+L(T_s, T_s, T_e) \text{yearfrac}(T_s,T_e)- \frac{P(t_0,T_s)}{P(t_0,T_e)} \right)\right] $$ 這就是理論上的凸度調整。
要計算調整，您需要一個模型 $ L(T_s, T_s, T_e) $ . 例如，如果你假設 $ L(T_s, T_s, T_e) $ 是對數正態或位移對數正態，具有恆定波動性，您很容易獲得封閉形式的解決方案。
或者，如果您假設 caplets/floorlets 的價格在 $ L(T_s, T_s, T_e) $ 與自然付款日期 $ T_e $ 可用於所有罷工，您可以使用複制和 Carr-Madan 公式計算調整。後者是拖欠掉期/上限/下限的標準程序。
在雙曲線設置中，您可以輕鬆地調整上述公式，例如假設 Libor-OIS 基礎是確定性的。
在大多數市場的現實生活中（值得注意的例外是英鎊），涵蓋該時期的 Libor $ T_s $ 至 $ T_e $ 修復 $ T_s - 2 $ 工作日，但上述方法仍然適用。