T-forward 和銀行賬戶之間的計價方式變更
我遵循一個過程，並得出一個債券價格被另一個債券折價是鞅的觀點： $$ \frac{P(t,T_0)}{P(t,T_1)} - \text{ is a } \mathbb{Q}^{T_1} \text{ martingale } $$ 我無法理解下面的證明，主要是在期望中可測量的內容： $$ \mathbb{E}^{T_1}_t \big[ \frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} \big] = \frac{1}{P(t,T_1)} \mathbb{E}_t \big[ e^{-\int^T_t r(s)ds } P(T,T_1) \frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} \big] = \frac{P(t,T_0)}{P(t,T_1)} $$ 為了 $ t<T< \min (T_0,T_1) $ .
這是我的嘗試：我看 Brigo 和 Mercurio 的書，說我的 RN 衍生品（來自 $ T_1 $ 前向測量 $ \mathbb{Q}^{T_1} $ 與通常的 RNM $ \mathbb{Q}= \mathbb{Q}^B $ 或不說明 $ \mathbb{Q} $ 正如我在下面所做的）是： $$ \begin{equation} \frac{ d \mathbb{Q} } { d \mathbb{Q}^{T_1} } \vert \mathcal{F}_t = \frac{P(0,T_1)}{P(t,T_1)} \frac{B(t)}{B(0)} \end{equation} $$
應用貝氏規則： $$ \mathbb{E}^{T_1}_t \big[ \frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} \big] = \frac{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{ d \mathbb{Q} } { d \mathbb{Q}^{T_1} } \frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} \big]}{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{ d \mathbb{Q} } { d \mathbb{Q}^{T_1} } \big]} = \frac{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{ d \mathbb{Q} } { d \mathbb{Q}^{T_1} } \frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} \big]}{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{ d \mathbb{Q} } { d \mathbb{Q}^{T_1} } \big]} $$ 並將 RN 導數代入期望值並代入我們得到的分母： $$ \frac{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{ d \mathbb{Q} } { d \mathbb{Q}^{T_1} } \frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} \big]}{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{ d \mathbb{Q} } { d \mathbb{Q}^{T_1} } \big]} = \frac{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{P(0,T_1)}{P(t,T_1)} \frac{B(t)}{B(0)} \frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} \big]}{ \frac{P(0,T_1)}{P(t,T_1)} \frac{B(t)}{B(0)} } $$ 現在，對我來說，期望中的一切似乎都是可以衡量的 $ \frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} $ 但我不確定這種推理是否正確，也不確定如何證明 $ \frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} $ 在下面 $ \mathbb{Q} $ 是一個可衡量的。
看到下面的答案後，我完成了更改措施的應用：
$$ \frac{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{ d \mathbb{Q}^{T_1} } { d \mathbb{Q} }\vert \mathcal{F}_T \frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} \big]}{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{ d \mathbb{Q}^{T_1} } { d \mathbb{Q} } \vert \mathcal{F}_T \big]} = \frac{ \mathbb{E}_t \big[ \left( \frac{P(T,T_1)}{P(0,T_1)} \frac{B(0)}{B(T)} \right)\frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} \big]}{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{P(T,T_1)}{P(0,T_1)} \frac{B(0)}{B(T)} \big] } = \frac{B(0)}{P(0,T_1)} \frac{ \mathbb{E}_t \big[ \left( \frac{P(T,T_1)}{1} \frac{1}{B(T)} \right)\frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} \big]}{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{P(T,T_1)}{P(0,T_1)} \frac{B(0)}{B(T)} \big] } $$ 知道用銀行賬戶折現的零息債券價格是鞅： $$ \frac{P(t,T_x)}{B(t)} = E^{\mathbb{Q}}_t\left[ \frac{P(T,T_x)}{B(T)} \right] $$ 我們獲得： $$ \frac{ \mathbb{E}_t \big[ \left( \frac{P(T,T_1)}{1} \frac{1}{B(T)} \right)\frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} \big]}{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{P(T,T_1)}{1} \frac{1}{B(T)} \big] } = \frac{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{P(T,T_0)}{B(T)} \big]}{ \mathbb{E}_t \big[ \frac{P(T,T_1)}{B(T)} \big] } = \frac{P(t,T_0)}{B(t)} \frac{B(t)}{P(t,T_1)} = \frac{P(t,T_0)}{P(t,T_1)} $$
（我還建議在此處查看一個不錯的答案以及該答案中的論文連結）
您對 RN 導數的表達確實是正確的 $$ \left. \frac{d\Bbb{Q}}{d\Bbb{Q}^{T_1}} \right\vert_{\mathcal{F}_t} = \frac{P(0,T_1)}{P(t,T_1)} \frac{B(t)}{B(0)} $$ 您的問題來自（抽象）貝氏規則的應用。更具體地說，你應該有 $$ \Bbb{E}_t^{T_1}[ X_T ] = \frac{ \Bbb{E}t \left[ X_T \left. \frac{d\Bbb{Q}^T_1}{ d\Bbb{Q}} \right\vert{\mathcal{F}_T} \right] } { \Bbb{E}t \left[ \left. \frac{d\Bbb{Q}^T_1}{ d\Bbb{Q}} \right\vert{\mathcal{F}_T} \right] } $$ 對於任何可測量的 $ X_T $ , 在這裡 $$ X_T = \frac{P(T,T_0)}{P(T,T_1)} $$ 所以你有兩個問題：
- RN 導數必須在 $ \mathcal{F}_T $ 不是 $ \mathcal{F}_t $ 因為 $ X_T $ 被視為 $ \mathcal{F}_T $ - 可測量的。
- 您為度量更改使用了錯誤的 RN 導數：您應該使用與您的文章相反的結果。注意， $ \forall t>0 $ $$ \left. \frac{d\Bbb{Q}^T_1}{ d\Bbb{Q}} \right\vert_{\mathcal{F}t} = \left( \left. \frac{d\Bbb{Q}}{d\Bbb{Q}^{T_1}} \right\vert{\mathcal{F}_t}\right)^{-1} $$