我怎麼能證明這一點你=和σΔt_√在=和σΔ噸u=e^{sigmasqrt{Delta t}}二項式期權定價模型
鑑於
$ e^{r\Delta t}(u+d)-ud-e^{2r\Delta t} = \sigma^2\Delta t $
我想證明
$ u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}} $
我知道我必須以某種方式使用泰勒近似 $ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2}+… $ 並忽略條款 $ \Delta t $ 高於 1，但我似乎無法達到 $ u $ . 有人可以告訴我這個推導嗎？
我看到了你的問題——不幸的是，赫爾沒有解釋這種方法背後的原因。
書中給出的提示是正確的。使用泰勒級數 $ e^x $ 可以寫成 $ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2}+… $ . 赫爾還納入了股息率 $ q $ 但我們可以在這裡忽略它。
$ p $ 是（誰）給的 $ p=\frac{e^{r\Delta }-d}{u-d} $ . 我們還有 $ u=\frac{1}{d} $ . 所以要完成我們的設置主要只需要找到一個道具 $ u $ 滿足方程 $ (*) $
$$ e^{r\Delta t}(u+d)-ud-e^{2r\Delta t} = \sigma^2\Delta t $$ 可以假設 $ u $ 將是一些功能 $ \Delta t $ 並因此寫 $ u(\Delta t) $ . 此外，我們不需要 $ u(\Delta t) $ 解決 $ (*) $ 對於巨大的 $ \Delta t $ . 如果我們假設函式有一些泰勒近似，我們可以只使用截斷的泰勒，因為它會近似 $ u(\Delta t) $ 足夠小 $ \Delta t $ . 所以我們設置 $ u(\Delta t) = e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}} $
現在顯然這個選擇不滿足方程 $ (*) $ . 如果二階泰勒近似可以完成這項工作，我們仍然會使用結果（因此對於較小的 $ \Delta t $ ) - 記住我們可以使用泰勒展開來逼近函式 - 這是泰勒定理的稍微簡化的陳述
二階泰勒和為 $ e^t $ 是（誰）給的 $ e^t \approx 1+t+0.5t^2 $ . 插入 $ \sigma \sqrt{\Delta t} $ 為了 $ t $ 給 $ e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}\approx 1+\sigma \sqrt{\Delta t}+0.5\sigma^2 \Delta t $ . 因此 $ u(\Delta t) \approx 1+\sigma \sqrt{\Delta t}+0.5\sigma^2 \Delta t $ 和 $ d(\Delta t) \approx 1-\sigma \sqrt{\Delta t}+0.5\sigma^2 \Delta t $ 對於足夠小的 $ \Delta t $ .
使用相同的技術，我們近似 $ e^{r\Delta t},e^{2 r\Delta t} $ 由他們的一階泰勒總和得到 $ e^{r\Delta t}=1+r \Delta t $ 和 $ e^{2 r\Delta t}=1+2r \Delta t $ .
如果你替換方程中的項 $ (*) $ 通過此處得出的近似值並殺死/忽略包含的所有術語 $ (\Delta t)^2 $ 你會得到想要的結果。
因此
$$ (1+r\Delta t)(1+\sigma \sqrt{\Delta t}+0.5\sigma^2 \Delta t+1-\sigma \sqrt{\Delta t}+0.5\sigma^2 \Delta t)-(1+\sigma \sqrt{\Delta t}+0.5\sigma^2 \Delta t)(1-\sigma \sqrt{\Delta t}+0.5\sigma^2 \Delta t)-(1+2r\Delta t) = \sigma^2\Delta t $$ 每當你遇到一個包含 $ (\Delta t)^2 $ （例如 $ \sigma^4(\Delta t)^2 $ ) 只需將其設置為零。
編輯背景以供選擇 $ u $
通過使用關係 $ d=1/u $ 可以簡化方程 $ (*) $ 到
$$ u^2-\frac{1+e^{2r\Delta t}+\sigma^2\Delta t}{e^{r\Delta t}}u+1=0 $$ 環境 $ A=0.5\frac{1+e^{2r\Delta t}+\sigma^2\Delta t}{e^{r\Delta t}}=0.5(e^{-r\Delta t}+e^{r\Delta t}+\sigma^2\Delta t e^{r\Delta t}) $ 一到二次方程 $ u^2-2Au+1=0 $
求解這個方程給出 $ u=A+\sqrt{A^2-1}, d=A-\sqrt{A^2-1} $ 現在，如果插入實際公式 $ A $ 代入這個方程，代入 $ e^{r \Delta t},e^{-r \Delta t} $ 和 $ 1+r \Delta t,1-r \Delta t $ , 簡化然後忽略所有包含的項 $ (\Delta t)^2 $ 或更高的到達
$$ u=1+\sigma \sqrt{\Delta t}+0.5\sigma^2 \Delta t $$ 這是二階泰勒近似 $ e^{ \sigma \sqrt{\Delta t}} $