Radon-Nikodym 導數與概似比有何不同？
我看到 Radon-Nikodym 導數是機率度量的比率， $ dP/dQ $ . 一般來說，這與兩個連續分佈的概似比有何不同？我理解 RN 定義廣泛適用於離散/連續/混合密度，但除此之外有什麼區別嗎？
如果 $ dx $ 是 Lebesgue 測度，那麼它在兩種測度中都占主導地位，因為它們對應於連續隨機變數，並且 RN 導數的性質之一是 $$ \frac{dP}{dQ} = \frac{\frac{dP}{dx}}{\frac{dQ}{dx}}. $$ 分子是密度 $ P $ , 分母是密度 $ Q $ . 這是wikipedia上的第二個屬性。
所以是的，概似比只是一個特例。如果這兩個度量是針對離散隨機變數的，那麼您將替換 $ dx $ 使用計數度量，您將獲得機率質量函式的比率。
在機率論中，密度函式通常定義為 Radon-Nikodym 導數本身， $ \frac{dP}{dQ} $ .
給定一些觀察到的結果，概似函式將這些密度（RN 導數）解釋為**參數的函式。**更明確地說，讓 $ X $ 是一個絕對連續的隨機變數。然後， $$ \mathcal{L}(\theta|x\in X) = f(x|\theta) = \mathbb{P}(x\in X|\theta) $$ 換句話說，概似函式衡量觀察到的機率 $ x $ 給定參數 $ \theta $ .
概似比旨在評估給定相同觀察集的兩個統計模型（具有不同參數）的擬合優度 $ x $ ，不是兩個完全不同的分佈。更明確地說，讓 $ \Theta $ 是所有可能參數的集合，並考慮一些子集 $ \Theta_0, \Theta_1 \in \Theta $ . 那麼概似比是， $$ \mathcal{L(\Theta_0,\Theta_1)} = -2\log\frac{\sup_{\Theta_0\in\Theta} \mathcal{L}(\theta)}{\sup_{\Theta_1\in\Theta}\mathcal{L}(\theta)} $$ 檢驗原假設 $ \theta\in\Theta_0 $ .