如何表示風險中性測度下的條件期望變異數？
風險中性測度下變異數的條件期望是
$$ \mathbb{E}^Q[V_T |S_T=K] $$ 在哪裡 $ S_T $ 和 $ K $ 分別代表到期時的現貨價格和行使價。
假設我知道風險中性密度 $ q(V,S,t) $ ，我想計算條件期望的倒數 $ V_T $ . 我應該使用這個公式嗎
$$ \frac{1}{\mathbb{E}^Q[V_T|S_T=K]} = \frac{1}{\int V_t \cdot q(v,s,t)\cdot dV} $$ 或其他公式 $$ \frac{1}{\mathbb{E}^Q[V_T|S_T=K]} = \frac{\int q(v,s,t)\cdot dV}{\int V_t \cdot q(v,s,t)\cdot dV} $$ 此外，如果
$$ g(v,s,t)\approx q(v,s,t)\cdot dv \cdot ds $$ 我想知道我們是否可以得到
$$ \Bbb{E}^\Bbb{Q}\left[ V_T \vert S_T = s \right] = \frac{\int_\Omega v,q_{V_T,S_T}(v, s,T) dv}{\int_\Omega q_{V_T,S_T}(v, s,T) dv} \approx \frac{\sum v\cdot q_{V_T,S_T}(v,s,t) \cdot dv }{\sum q_{V_T,S_T}(v,s,t) \cdot dv} $$ $$ = \frac{\sum v \cdot \frac{g(v,s,t)}{dv \cdot ds} \cdot dv }{\sum \frac{g(v,s,t)}{dv \cdot ds} \cdot dv} = \frac{\sum v \cdot g(v,s,t)}{\sum g(v,s,t)} $$ 謝謝！
假使，假設 $ q_{V_T,S_T}(v,s,T) $ 表示 2 個連續隨機變數的已知聯合 pdf $ V_T $ 和 $ S_T $ 在某種機率測度下 $ \Bbb{Q} $ . 進一步假設定義域 $ V_T $ 是 $ \Omega $ .
通過定義期望運算元+條件機率密度函式
$$ \Bbb{E}^\Bbb{Q}\left[ V_T \vert S_T = s \right] = \int_\Omega , q_{V_T \vert S_T}(v, s, T) dv $$ 從機率乘積法則
$$ q_{V_T \vert S_T}(v, s, T) q_{S_T}(s,T) = q_{V_T,S_T}(v, s,T) $$ 因此，回到期望計算 $$ \Bbb{E}^\Bbb{Q}\left[ V_T \vert S_T = s \right] = \frac{\int_\Omega v, q_{V_T,S_T}(v, s,T) dv}{q_{S_T}(s,T)} $$ 最後用求和規則來表示邊際 $ q_{S_T} $ 來自聯合pdf $ q_{V_T,S_T} $ 一個得到： $$ \Bbb{E}^\Bbb{Q}\left[ V_T \vert S_T = s \right] = \frac{\int_\Omega v, q_{V_T,S_T}(v, s,T) dv}{\int_\Omega q_{V_T,S_T}(v, s,T) dv} $$ 這相當於你提到的第二個公式。