在以下情況下如何理解對數正態分佈
我有一個問題和相應的解決方案，但是在理解它的對數正態分佈部分時有些困難，所以非常感謝您的建議：
問題：假設零利率和目前價格為 1 美元的股票不支付股息。當價格首次觸及 H(H>0) 水平時，您可以行使期權並獲得 1 美元。今天這個選項對你有什麼價值？
解：由於在風險中性測度下股票價格遵循幾何布朗運動 $ dS = rSdt+σSdW(t) $ . 由於 r=0， $ dS = σSdW(t) $ ， 所以 $ d(lnS)=-0.5*σ^2dt+σdW(t) $ 當 t=0 時，我們有 $ S_0=1,ln(S_0)=0 $ . 請注意，在風險中性測度下，S 是鞅，但 $ lnS $ 有負漂移。
這是我的第一個疑問：如果我理解正確，原因 $ dlnS $ 有一個負漂移，而 $ dS $ 沒有是因為：dlnS 是股價的連續複利率，由於連續複利的特性，它考慮了波動率（或標準差），所以它的實際漂移應該減去這個波動率分量，我想知道我的理解是否正確？
（接解決方案）原因是 $ lnS $ 服從正態分佈，但 $ S $ 本身遵循對數正態分佈，呈正偏態。作為 $ T $ 接近正無窮大，儘管期望值 $ S_T $ 為 1，機率 $ S_T>=1 $ 實際上接近 0。這是我的第二個疑問：我們如何知道 $ S_T>=1 $ 實際上接近0？
的漂移 $ \mathrm{d}\ln(S_t) $ 確實是 $ r-\frac{1}{2}\sigma^2 $ 如果 $ r=0 $ . 額外的 $ -\frac{1}{2}\sigma^2 $ 有很多解釋。您可以將其視為凸性校正（參見 Jensen 不等式）或鞅校正。沒有它， $ (S_t) $ 不會是鞅。
對於第二部分，請注意 $ \ln(S_T)\sim N\left(\ln(S_0)-\frac{1}{2}\sigma^2T,\sigma^2 T\right) $ . 那麼，對於 $ Z\sim N(0,1) $ , $$ \begin{align*} \mathbb{Q}\left[ {S_T\geq1}\right] &= \mathbb{Q}\left[ {\ln(S_T)\geq0}\right] \ &= \mathbb{Q}\left[ \left{\ln(S_0)-\frac{1}{2}\sigma^2T+\sigma\sqrt{T}Z\geq0\right}\right] \ &= \mathbb{Q}\left[ \left{Z\geq \frac{-\ln(S_0)+\frac{1}{2}\sigma^2T}{\sigma\sqrt{T}}\right}\right] \ &= 1- \Phi\left(-\frac{\ln(S_0)-\frac{1}{2}\sigma^2T}{\sigma\sqrt{T}}\right) \ &= \Phi\left(\frac{\ln(S_0)-\frac{1}{2}\sigma^2T}{\sigma\sqrt{T}}\right). \end{align*} $$ 您應該注意，這與 $ \Phi(d_2) $ 在布萊克斯科爾斯公式中 $ K=1 $ 和 $ r=0 $ . 因此， $$ \begin{align*} \lim_{T\to\infty} \mathbb{Q}[{S_T\geq1}] = 0. \end{align*} $$ 這是有道理的。由於回報有負漂移，您預計股價會隨著時間的推移而下跌。因此，機率 $ S_T $ 大於任何正常數 $ \varepsilon>0 $ 趨於零 $ T\to\infty $ .