風險中性測度下的 Libor 市場模型 (LMM)
我想在風險中性度量下建立遠期Libor方程。這是我的做法，以及我得到的：
在下面 $ P_{T_j} $ 衡量，遠期Libor $ L_j $ 是鞅。因此：
$$ dL_j = L_j \times \sigma_j(t) \times dW^{T_j} $$ 現金的變化意味著：
$$ \frac{dQ^{T_j}}{dQ^} = \frac{P(t,T)\times\exp{\left(-\int_0^T{r(s)ds}\right)}}{P(0,T)} $$ 在下面 $ Q^ $ , $ P(t,T) $ 折扣是鞅，這意味著：
$$ \frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r(t) dt + \eta(t) dW^* $$ 解決這個問題：
$$ P(t,T) = P(0,T) \times \exp\left(\int_0^T\left(r(s)-\frac{1}{2} \eta(s)^2\right)ds + \int_0^T{\eta(s)}dW^{T_j}\right) $$ 因此：
$$ \frac{dQ^{T_j}}{dQ^*} = \exp\left(-\int_0^T{\frac{1}{2}} \eta(s)^2ds + \int_0^T{\eta(s)}dW^{T_j}\right) $$ 吉爾薩諾夫表明：
$$ dW^{T_j} = dW^* - \eta(t) dt $$ 在下面 $ Q^* $ :
$$ \frac{dL_j}{L_j} = \alpha(t) dt + \sigma_j(t) dW^{*} $$ 寫作 $ P(t,T) $ 作為 $ \exp(-\int_t^T{f(t,s)ds}) = \exp(Y_t) $ :
$$ \frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = dY_t +\frac{1}{2}<Y_t>dt $$ 和 $ dY_t = f(t,t) dt -\int_t^T{\alpha(t) dt ds } - \int_t^T{\sigma(t)dt dW_s} $ . 辨識，我得出結論：
$$ \eta(t) = \sigma(t) $$ 最後：
$$ dL_j(t) = -L_j(t) \sigma_j(t) \int_t^{T_j}{\sigma_j(s)ds} dt + L_j\sigma_j(t) dW^*. $$ 這是對的嗎 ？
我們假設，在 $ T_j $ - 前向機率測度 $ P_{T_j} $ ,
$$ \begin{align*} \frac{dP(t, T_j)}{P(t, T_j)} = \mu_P(t, T_j) dt + \sigma_P(t, T_j) dW_t^{T_j}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \mu_P(t, T_j) $ 和 $ \sigma_P(t, T_j) $ 分別是漂移函式和波動函式。讓 $ Q $ 是風險中性機率測度。然後 $$ \begin{align*} \frac{dQ}{dP_{T_j}}\big|t &= \frac{e^{\int_0^t r_s ds}P(0, T_j)}{P(t, T_j)}\ &=e^{\int_0^t \big(r_s -\mu_P(s, T_j)+\frac{1}{2} \sigma_P(s, T_j)^2 \big) ds - \int_0^t \sigma_P(s, T_j) dW_s^{T_j}}. \end{align*} $$ 自從 $ \frac{dQ}{dP{T_j}}\big|t $ 是鞅 $ P{T_j} $ , $$ \begin{align*} \int_0^t \Big(r_s -\mu_P(s, T_j)+\frac{1}{2} \sigma_P(s, T_j)^2 \Big) ds = -\frac{1}{2}\int_0^t \sigma_P(s, T_j)^2 ds. \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} \mu_P(t, T_j) = r_t + \sigma_P(t, T_j)^2, \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} \frac{dQ}{dP_{T_j}}\big|_t &= e^{-\frac{1}{2} \int_0^t\sigma_P(s, T_j)^2 ds - \int_0^t \sigma_P(s, T_j) dW_s^{T_j}}. \end{align*} $$ 那麼，在風險中性機率測度下 $ Q $ , $ {W_t, , t \ge 0} $ , 其中, 對於 $ t \ge 0 $ , $$ \begin{align*} W_t = W_t^{T_j} + \int_0^t \sigma_P(s, T_j) ds, \end{align*} $$ 是標準布朗運動。而且， $$ \begin{align*} \frac{dL_j}{L_j} = -\sigma_j(t) \sigma_P(t, T_j) dt + \sigma_j(t) d W_t. \end{align*} $$