無套利定理：一個證明
如果股票的折價過程存在等價的鞅測度，則市場是無套利的。
我的課程只為我提供了全部證據的一部分，證明只要存在這種鞅，就意味著市場必須是無套利的。
證明：
認為 $ P^* $ 是貼現股價過程的等價鞅 $ S’ $ . 對於任何自籌資金策略 $ \phi $ , 我們有 $ V’^\phi $ 是一個 $ P^* $ 鞅。( $ V’ $ 這是這種策略的貼現值）。所以：
$$ E_{P^}[V’^\phi_T] = V^\phi_0 $$ 現在假設 $ \phi $ 是一個套利機會。然後 $ P(V^\phi_0=0) = 0 $ （策略的初始成本為零），所以也 $ P^(V^\phi_0=0) = 0 $ 因此 $ E_{P^}[V’^\phi_T] = B^{-1}TE{P^}[V^\phi_T] = B^{-1}_TV^\phi_0 $ .
我們必須有
$$ P^(V^\phi_T\geq0) = 1 , P^(V^\phi_T\gt0) > 0 $$ 再加上每個可能的結果 $ \omega $ ， 我們有 $ P^*({\omega}) \gt 0 $ , 這導致矛盾。
現在作為矛盾的解釋，它說我們不能在正實數上擁有一個均值為零且質量為正的非負隨機變數。我不明白。有人可以解釋這個解釋嗎？
考慮一個隨機變數 $ X $ 具有機率密度函式 (PDF) $ f(x) $ . $ X $ 非負數意味著 $ f(x) = 0 $ 為了 $ x < 0 $ . 的期望 $ X $ 因此是
$$ \begin{equation} \int_{-\infty}^\infty x f(x) \mathrm{d}x = \int_0^\infty x f(x) \mathrm{d}x. \end{equation} $$ 自從 $ f(x) \geq 0 $ 為了它是一個有效的 PDF，它遵循
$$ \begin{equation} \int_0^\infty x f(x) \mathrm{d}x = 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad f(x) = \delta(x), \end{equation} $$ 在哪裡 $ \delta(x) $ 是狄拉克函式。即為 $ X $ 要具有零均值，它的 PDF 需要是一個點質量為零。