風險中性評估 - 交換/價差期權
我有兩個資產， $ S_1 $ 和 $ S_2 $ ，它遵循幾何布朗運動過程。這意味著兩者 $ S_1 $ 和 $ S_2 $ 具有對數正態分佈。
我試圖通過風險中性估值獲得交易所期權價格公式，或者換句話說
$$ C(t,S_1,S_2)=e^{-r(T-t)}E(\max{S_1-S_2,0}) $$. 如何計算期望值 $ E(\max{S_1-S_2,0}) $ ??
你的公式，就目前而言，是不正確的，至少是如果 $ E $ 表示“現實世界機率下的預期值”。
我寫了一篇部落格文章，解釋了風險中性定價背後的基本原理，您將在其中看到，如果資產定價定理的基本定理成立，您可以寫：
讓 $ X_t=S_{1,t}-S_{2,t} $
$$ e^{-rt} X_t = \mathbb{E}_\mathbb{Q}[e^{-rT} \max(X_T,0) | \mathcal{F}t] $$ 在哪裡 $ \mathbb{E}\mathbb{Q} $ 代表“風險中性機率下的預期”。
從那裡開始，您要做的是定義風險中性動態 $ S_1 $ 和 $ S_2 $ . 當您說資產遵循對數正態分佈時，我假設它們遵循的是獨立的幾何布朗運動。在這種情況下，他們的風險中性動態是眾所周知的（見這裡）：
$$ dS_{1,t}= r S_{1,t} dt + \sigma_1 S_{1,t} dW^{\mathbb{Q}}{1,t} $$ $$ dS{2,t}= r S_{2,t} dt + \sigma_2 S_{2,t} dW^{\mathbb{Q}}{2,t} $$ 哪裡是無風險利率，和 $ dW^{\mathbb{Q}}{i,t}=dW_{i,t}+\frac{\mu_i-r}{\sigma_i}dt $ .
所以你有了：
$$ dX_t=dS_{1,t}-dS_{2,t}=r (S_{1,t} -S_{2,t})dt + + \sigma_1 S_{1,t} dW^{\mathbb{Q}}{1,t} - dS{2,t}= r S_{2,t} dt - \sigma_2 S_{2,t} dW^{\mathbb{Q}}_{2,t} $$ 和：
$$ X_t = e^{-r(T-t)} \mathbb{E}\mathbb{Q}[\max(X_T,0) | \mathcal{F}t]= e^{-r(T-t)} \mathbb{E}\mathbb{Q}[\mathbb{1}{X_T>0}X_T | \mathcal{F}_t] $$ 然後你繼續操縱方程，我建議改變計價器……
讓我們概括一下更常見的情況，即相關資產價差的期權 $ S_{1,2} $ 有相關係數 $ \rho $ . 也就是說，寫 $ s = S_1-S_2 $ ，而你想要
$$ e^{-rT}\mathbb{E}\left[ (s_T-K)^+ \right] $$ 如果 $ S_{1,2} $ 遵循幾何布朗運動（GBM），然後是終端分佈 $ s_T $ 不是任何簡單的形式。然而，讓我注意到，專業人士通常會簡單地假設 $ s $ 遵循一個普通的布朗運動，前兩個矩與“真實”分佈的對應矩相匹配，在這種情況下，終端分佈是高斯分佈，我們可以推導出期權價值
$$ V=e^{-rT}(S_2-S_1) N\left( \frac{e^{-rT}(S_2-S_1)-K e^{-rT}}{v} \right) + v \cdot n\left( \frac{e^{-rT}(S_2-S_1)-K e^{-rT}}{v} \right) $$ 在哪裡
$$ v := e^{rT}\sqrt{ S_1^2(e^{\sigma_1^2 T}-1)-2S_1S_2(e^{\rho \sigma_1\sigma_2 T}-1) + S_2^2 (e^{\sigma_2^2 T}-1)} $$ 要獲得“精確”的解決方案，您可以觀察到我們將其寫為
$$ \frac{dS_1}{S_1} = r dt + \sigma_1 dW^{(1)} \ \frac{dS_2}{S_2} = r dt + \sigma_2 \left( \rho dW^{(1)} + \sqrt{1-\rho^2} dW^{(2)}\right) $$ 在這種情況下，期望積分變為
$$ e^{-rT}\int_{z_1=-\infty}^{\infty} \int_{z_2=-\infty}^{\infty} (S_1(z_1)-S_2(z_1,z_2)-K)^+ n(z_1) n(z_2) dz_1 dz_2 $$ 我們可以改成
$$ e^{-rT}\int_{z_1=S_1^{-1}(K)}^{\infty} P( S_2^0, S_1(z_1)-K, r^\prime(z_1), \sigma^\prime(z_1) ) n(z_1) dz_1 $$ 用於調整漂移 $ r^\prime(z_1) $ 和調整後的音量 $ \sigma^\prime(z_1) $ 在 Black-Scholes 看跌期權定價公式中 $ P(\cdot) $ . 為了清楚起見 $ S_2^0 $ 表示初始值 $ S_2 $ ， 儘管 $ S_{1,2}(\cdot) $ 使用慣常的波動率和漂移指示 GBM 的通常終值函式。
該積分是一維的並且可以使用數值求積來有效地評估，例如梯形規則方案。