RNP下的“股價漂移變成無風險利率”
假設股票價格的演變是幾何布朗運動
$$ dS=\mu Sdt+\sigma SdW(t) $$ 在哪裡 $ S $ 是當時的股價 $ t $ （目前時間）。在我的書中說“在風險中性機率測度下，股票價格的漂移 $ \mu $ 變成無風險利率 $ r $ “它寫道
$$ dS=rSdt+\sigma SdW^{}(t). $$ 在哪裡 $ W^{} $ 是RNP下的BM $ Q $ （風險中性機率）。 上面的等式絕對正確嗎？這樣做有理由嗎？
是的，你不妨把它當作風險中性機率的定義 $ Q $ .
我現在將嘗試給你一些關於這種結構的直覺。
假設無風險利率 $ r $ 是恆定的，世界在時間結束 $ T $ . 假設你有一個安全 $ B=B_t $ 這是無風險的，即遵循動態
$$ dB/B = r , dt $$ 所以，因為 $ dB/B = d \ln B $ , 你可以很容易地看到 $ B_t = B_0 e^{rt} $ . 換句話說，過程 $ B_t $ 以與無風險利率相同的速度增長。對於這種證券，零時間的價格是 $ B_0 $ ，這與其預期收益的貼現值一致： $$ e^{-rT} E[B_T] = e^{-rT} E[B_0 e^{rT}] = e^{-rT} B_0 e^{rT} = B_0 ,. $$ 現在考慮一隻有風險的股票，因為它遵循動態
$$ dS/S = \mu , dt + \sigma,dW $$ 和 $ \mu > r $ 和 $ \sigma $ 恆定和 $ dW $ ，一個標準的布朗運動，是風險的來源。這次的過程 $ S $ 在期望中快速增長 $ \mu $ , 及其貼現的預期收益 $$ e^{-rT}E[S_T] = e^{-rT} S_0 e^{\mu T} = S_0 e^{(\mu-r) T} > S_0 $$ 大於其目前值 $ S_0 $ . 為什麼會這樣？好吧，因為持有涉及一些風險 $ S $ ，因此它的價格應該更低，因為它是無風險的證券！這樣一來，當時買入股票的投資者 $ 0 $ 將因承擔此風險而得到補償，即他將獲得風險溢價。風險中性機率 $ Q $ 當您查看折扣後的預期收益時，它會給出正確的價格，即 $$ S_0 = e^{-rT}E^Q[S_T],. $$ 如果您到目前為止遵循我的推理，那麼現在應該很清楚 $ Q $ 是那個機率 $$ dS/S = r, dt + \sigma, dW^Q $$ 和 $ dW^Q $ 是一個布朗運動 $ Q $ .