Vasicek 空頭利率：將風險中性衡量標準轉化為現實世界衡量標準
我在風險中性測度下考慮 Vasicek 模型 $ \mathbb{Q} $ :
$$ dr_t=\kappa(\theta−r_t) dt+\sigma dW^{\mathbb{Q}}_t. $$ 我已經確定$$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[e^{−\int\limits_0^T r_u \textrm{d}u}\right] = \exp\left(-\left(r_0 \frac{1-e^{-\kappa T}}{\kappa} + \theta \left(T - \frac{1- e^{-\kappa T}}{\kappa}\right)\right)+\frac{1}{2} \left(\frac{\sigma^2}{2 \kappa^3} ( 2 \kappa T - 3 + 4 e^{-\kappa T}-e^{-2\kappa T}\right)\right) $$，但現在我必須在真實世界的度量下計算相同的表達式 $ \mathbb{P} $ ， IE $ \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[e^{−\int\limits_0^T r_u \textrm{d}u}\right] $ . 我怎樣才能做到這一點？我必須應用吉爾薩諾夫定理嗎？
Vasnicek 本身並沒有具體說明度量變化應該是什麼形式，以及您應該如何參數化風險的市場價格。
一個非常自然的參數化是仿射因子，即
$$ dW^* = dW + (\lambda_0+\lambda_1 r) dt $$ 在哪裡 $ W $ 是下的維納過程 $ \mathbb{Q} $ 和 $ W^* $ 為了 $ \mathbb{P} $ . 有效地，在 $ \mathbb{P} $ 你會有一組不同的參數 $ \kappa, \theta $ ，但該程序仍將是一個 OU 程序。
在 Vasicek 中沒有任何東西需要測量的仿射變化。如果您想了解更多關於如何在兩個 $ \mathbb{P} $ 和 $ \mathbb{Q} $ 同時測量，一個不錯的起點是 Singleton-Dai（我找不到原始引文，但這一個作為概述）：
- 戴、強和肯尼斯·辛格爾頓。“理論和現實中的期限結構動力學。” 金融研究回顧 16.3 (2003): 631-678。
或者
- 昂、安德魯和莫妮卡·皮亞澤西。“具有宏觀經濟和潛在變數的期限結構動態的無套利向量自回歸。” 貨幣經濟學雜誌 50.4 (2003): 745-787
在每篇論文中，他們都有物理測量的仿射模型和風險中性的仿射模型。物理測量中的仿射基本上只是向量自回歸 (VAR)（他們不考慮隨機 vol、CIR 類型的模型）。由於風險中性度量中的定價公式，VAR 對其參數具有非線性約束，不幸的是，這使得擬合債券數據時間序列的解決方案具有挑戰性。
宏觀仿射模型行業在該領域產生了數百篇論文，但最終並不是非常成功，因為我認為 Gregory Duffee 的論文結束了這一努力：
- Duffee, Gregory R. 使用期限結構進行預測：無套利限制的作用。第 576 號工作論文//約翰霍普金斯大學經濟系，2011 年。
基本上，Duffee 表明，對於收益率曲線預測，對 VAR 的約束是好的，因為它減少了參數的總數（這是偏差-變異數權衡的經典案例），並提高了預測準確性。但他也表明，無套利約束並沒有那麼有用。您不妨使用另一個更易於使用的約束（如 PCA 或其他降維方法，或某種正則化方法）。
不管怎樣，它有助於從 Dai-Singleton 和 Ang-Piazzessi 開始，看看 Rudebusch-Wu 和其他人的一些工作，然後再意識到試圖將無套利模型引入實際預測收益率曲線領域的限制動力學。
而且，雖然人們仍在該領域發表論文，但仍有許多人轉而關注 Nelson-Siegel 或 Nelson-Siegel-Svensson 並將其用於預測。（例如，Diebold 和他的合著者），並且有一些關於擴展 Bernanke 等人非常喜歡的因子增強 VAR (FAVAR) 模型的工作，而不是使用具有宏觀經濟因素的 NS/NSS。