波動率變化的 Girsanov 定理版本
當波動率變化時，是否有 Girsanov 定理的版本？
例如，Girsanov 定理指出，隨機方程的 Radon Nikodym (RN) 導數用於將在一個度量中進行採樣的期望轉換為在另一種度量中進行採樣的期望。
讓我們看一個例子
$ dX_t(w) = f(X_t(w))dt + \sigma(X_t(w))dW_t^P(w) $ 在 P 測量中。
在 P* 測量中，漂移是 $ f^{}(X_t(w)) $ . 我們將 P 度量中的期望內部乘以 RN 導數，得到 P 度量中 X 的期望
$ E^{P^}[X] = E^P[X \frac{dP^}{dP}] $
在哪裡
$ \frac{dP^}{dP}=e^{-0.5 \int (\frac{ f^{}(X_s(w)) - f(X_s(w))}{\sigma(X_s(w))})^2ds + \int \frac{ f*(X_s(w)) - f(X_s(w))}{\sigma(X_s(w))} dW_s^P(w)} $
我正在尋找的是 P* 度量，不僅是漂移，還有波動性變化
$ dX_t(w) = f^{}(X_t(w))dt + \sigma^{}(X_t(w))dW_t^P(w) $
那麼什麼是 $ \frac{dP^*}{dP} $ ?
當 P 度量和 P* 度量之間的波動率不同時，我認為 Girsanov 的公式不起作用。P 和 P* 相對於彼此是單數的。
請參閱第 11 頁古德曼教授的課堂筆記，網址為http://www.math.nyu.edu/faculty/goodman/teaching/StochCalc2012/notes/Week10.pdf。
此外，來自 [ http://ocw.mit.edu/courses/sloan-school-of-management/15-450-analytics-of-finance-fall-2010/lecture-notes/MIT15_450F10_lec02.pdf ] 第 54 頁：
機率度量將相對可能性分配給布朗運動的不同軌跡。Ito 過程的變異數可以從單個軌蹟的形狀（二次變化）中恢復，因此它不依賴於軌蹟的相對概似性，因此不依賴於機率測度的選擇。
Girsanov 定理適用於任何兼容的測度變化，包括波動率變化。您上面編寫的版本是僅用於漂移變化的簡化版本，但如果您查看任何好的隨機微積分書籍，您會發現完整版本只要求您能夠計算兩個過程的交叉變化。