使用零息債券的風險中性測度下瞬時遠期利率的波動和漂移
我對這個問題有疑問。我相信我已經得出 $ f(t,T) $ 正確使用零息債券。但我不確定如何繼續提出這個問題以及如何使用第二部分。
問題
注意 $$ f(t, T)=-\frac{\partial}{\partial T} \log P(t, T) $$ 讓我們假設 HJM 框架。假設 $ T $ - 來自市場的債券價格數據表明 $$ [f(\cdot, T), f(\cdot, T)]_{t}=\sigma e^{-\lambda(T-t)} $$ (a) 遠期匯率的波動性是多少？(b) 如果我們假設沒有套利，那麼 $ f(t, T) $ 在 ELMM 下 $ \mathbb{Q} $ ?
我的嘗試：
首先我得出 $ f(t, T)=-\frac{\partial}{\partial T} \log P(t, T) $ 如下：
瞬時遠期匯率的定義：
$$ f(t, T)=f(0, T)+\int_{5}^{t} \alpha(s, T) d s+\int_{0}^{t} \sigma_{f}(s, T) d w(s) $$
$$ d f\left(t, T\right)=\alpha(t, T) d t+\sigma^2_{f}(t, T) dw_{t} $$
零息債券價格定義：
$$ d P(t, T)=r_{t} P(t, T) d t+\sigma_{p}\left(t, T\right) P(t, T) d w_{t} $$
取兩邊的微分： $ f(t, T)=-\frac{\partial}{\partial T} \log P(t, T) $ 我們得到：
$$ d f(t, T)=-\frac{d}{d T} d Log (P(t, T)) $$
使用伊藤引理 $ d Log (P(t, T)) $ 我們得到：
$$ d \ln P(t, T)=r_{t} d t+\sigma_{p}\left(t, T\right) d W_{t}-\frac{1}{2} \sigma_{p}(t, T)^{2} d t $$
因此：
$$ d f(t, T)=\sigma_{p}(t, T) \frac{d}{d T} \sigma_{p}\left(t, T\right) d t-\frac{d}{d T} \sigma_{p}(t, T) d w_{t} $$
現在這是我感到困惑的部分。我們有兩個定義 $ d f(t, T) $ 如下：
$$ d f\left(t, T\right)=\alpha(t, T) d t+\sigma^2_{f}(t, T) dw_{t} $$
$$ d f(t, T)=\sigma_{p}(t, T) \frac{d}{d T} \sigma_{p}\left(t, T\right) d t-\frac{d}{d T} \sigma_{p}(t, T) d w_{t} $$
因此，我認為漂移項和波動率項必須相等：
$$ \begin{aligned} &-\frac{d}{d T} \sigma_{p}(t, T) d \omega_{t}=\sigma_{f}(t, T) d w_{t} \ &\int_{t}^{T} \sigma_{f}(t, u) d u+c=-\sigma_{p}(t, T) \end{aligned} $$
根據零息債券的定義，C = 0。現在對於波動性部分：
$$ \sigma^2(t, T) d t=\sigma_{p}(t, T) \frac{d}{d T} \sigma_{p}(t, T) d t $$
$$ \sigma(t, T) d t=\sqrt{\sigma_{f}(t, T) \int_{t}^{T} \sigma_{f}(t, u) d u} $$
因此，在風險中性測度下的瞬時遠期利率動態為：
$$ d f(t, t)=\sqrt{\left(\sigma_{f}(t, T) \int_{t}^{\top} \sigma_{f}(t, u) d u\right) d t}+\sigma_{f}(t, t) d w_{t} $$
我覺得我錯了，我什至沒有使用問題的第二部分 $ [f(\cdot, T), f(\cdot, T)]_{t}=\sigma e^{-\lambda(T-t)} $ . 請幫忙。
你有很多錯別字，其中最嚴重的是你的帽子 $ df $ 方程 $ \sigma_f(t,T) $ 不應該平方。
基本的 HJM 方程是 $$ \begin{align} f(t,T)&=f(0,T)+\int_0^t\alpha(s,T),ds+\int_0^t\sigma(s,T),dw_s,,\ P(t,T)&=e^{-\int_t^Tf(t,u),du},. \end{align} $$ 清楚地， $$ \begin{align} \int_t^Tf(t,u),du&=\int_t^Tf(0,u),du+\int_t^T\int_0^t\alpha(s,u),ds,du+\int_t^T\int_0^t\sigma(s,u),dw_s,du\ &\stackrel{\text{Fubini}}{=}\int_t^Tf(0,u),du+\int_t^T\int_0^t\alpha(s,u),ds,du+\int_0^t\int_t^T\sigma(s,u),du,dw_s,. \end{align} $$ 所以， $$ \begin{align} d\left(\int_t^Tf(t,u),du\right)&=\underbrace{-f(0,t),dt-\left(\int_0^t\alpha(s,t),ds\right),dt-\left(\int_0^t\sigma(s,t),dw_s\right),dt}_{-f(t,t),dt,=-r(t),dt}\ &+\left(\int_t^T\alpha(t,u),du\right),dt+\left(\int_t^T\sigma(t,u),du\right),dw_t ,. \end{align} $$ 它遵循 $$ \begin{align} dP(t,T)&=P(t,T)\Bigg{r(t),dt -\left(\int_t^T\alpha(t,u),du\right),dt- \left(\int_t^T\sigma(t,u),du\right),dw_t\ &+\frac{1}{2}\left(\int_t^T\sigma(t,u),du\right)^2,dt\Bigg},. \end{align} $$ 這是零鍵的 SDE $ P(t,T),. $ 顯然，波動率函式之間的關係 $ \sigma(t,T)=\sigma_f(t,T) $ 瞬時遠期匯率 $ f(t,T) $ 零鍵是 $$ \boxed{\sigma_P(t,T)=-\int_t^T\sigma_f(t,u),du,.} $$ 您在問遠期匯率的波動性是多少？
答：是函式 $ \sigma_f(t,T) $ . 換句話說：每個遠期利率 $ f(t,T) $ 具有時間相關的波動率 $ \sigma_f(t,T),. $
期限 $ [f(.,T),f(.,T)]_t=\sigma e^{-\lambda(T-t)} $ 是二次變分。通過第一個 HJM 方程，我們知道這是 $$ \int_0^t\sigma_f^2(s,T),ds,. $$ 因此， $$ \sigma_f^2(t,T)=\frac{d}{dt}\sigma e^{-\lambda(T-t)}=\sigma\lambda e^{-\lambda(T-t)},. $$ 這看起來有點奇怪，但有可能。你確定你的問題陳述不是 $$ [f(.,T),f(.,T)]_t=\frac{\sigma^2}{2\lambda}e^{-2\lambda(T-t)},? $$ 這種二次變化導致更熟悉的 $$ \sigma_f(t,T)=\sigma e^{-\lambda(T-t)} $$ 將 Vasicek 模型嵌入到 HJM 框架中。