如果在利息自然期之後支付時的凸性調整？
我一直在為利率收益進行凸度調整，下一個問題出現在我身上：
引起我所指的凸度調整的常見問題如下：
考慮一系列日期，
$$ \begin{align*} 0 \leq t_0 \leq T_s < T_p < T_e, \end{align*} $$ 在哪裡 $ T_p $ 是付款時間， $ T_s $ 是觀察利率的時間，並且 $ T_e $ 是遠期利率的利息結束的時間。
如果付款及時定價 $ T_p $ ，人們將計算對度量的期望 $ Q_{T_p} $ ， 如下：
$$ \begin{align*} P(t_0, T_p)E^{T_p}\big(L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}{t_0}\big). \end{align*} $$ 現在從測量改變 $ Q{T_p} $ 順其自然 $ Q_{T_e} $ 將在期望中引入一個額外的項，這將導致我們進行凸度調整：
$$ \begin{align*} &\ P(t_0, T_p)E^{T_p}\big(L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}{t_0}\big) \ =&\ P(t_0, T_p)E^{T_e}\Big(\frac{dQ{T_p}}{dQ_{t_e}}L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}{t_0}\Big)\ =&\ P(t_0, T_p)E^{T_e}\Big(\frac{P(t_0, T_e)}{P(t_0, T_p)P(T_p, T_e)} L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}{t_0}\Big)\ =&\ P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\frac{1}{P(T_p, T_e)} L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}{t_0}\Big)\ =&\ P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\big(1+ \Delta_p^e L(T_p, T_p, T_e) \big) L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}{t_0}\Big)\ =&\ P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\big(1+ \Delta_p^e L(T_s, T_p, T_e) \big) L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}_{t_0}\Big) \end{align*} $$ 現在，如果日期序列是這樣的：
$$ \begin{align*} 0 \leq t_0 \leq T_s < T_e < T_p, \end{align*} $$ 隨著付款 $ T_p $ 利率期限結束後。是否需要改變衡量標準並進行調整才能對收益進行定價？我認為如果是這樣的話，它會是這樣的：
$$ \begin{align*} &\ P(t_0, T_p)E^{T_p}\big(L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}{t_0}\big) \ =&\ P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(P(T_e, T_p) L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}{t_0}\Big)\ =&\ P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\frac{1}{1+ \Delta_e^p L(T_e, T_e, T_p)} L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}_{t_0}\Big)\ \end{align*} $$ 但是我看不出以與前一種情況相同的邏輯來改變度量會如何導致這個術語。另一方面，由於付款是在 $ T_e $ 由於利息期已經結束（理論上），因此進行調整沒有多大意義，並且人們會將收益定價為 $ T_e $ 也許打折 $ T_p $ .
我希望我說清楚了，
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出現凸度調整，無論 $ T_p $ 在之前或之後 $ T_e $ :
$$ E^{T_p}\left[L(T_s, T_s, T_e) \right] = E^{T_e}\left[\frac{dQ^{T_p}}{dQ^{T_e}}L(T_s, T_s, T_e) \right] = E^{T_e}\left[\frac{P(t_0, T_e) P(T_s,T_p)}{P(t_0, T_p)P(T_s,T_e)}L(T_s, T_s, T_e) \right] $$ 如果 $ T_p < T_e $ 然後 $ \frac{P(T_s,T_p)}{P(T_s,T_e)} = 1 + \Delta_p^e L(T_s, T_p, T_e) $ 你得到你原來的公式。 如果 $ T_p > T_e $ 然後 $ \frac{P(T_s,T_p)}{P(T_s,T_e)} = \frac{1}{1 + \Delta_e^p L(T_s, T_e, T_p)} $ 你得到你正在尋找的公式。