金融的兩個基本定理，因為它們與鞅測度有關
我最近在Battig 和 Jarrow的一篇文章中讀到了這一點，“第一個基本定理將無套利的概念與等價鞅測度的存在聯繫起來，而第二個基本定理將市場完整性的概念與等價鞅的唯一性聯繫起來測量”有人可以解釋這兩個基本定理之間的區別嗎？盡可能簡單和可口，最好。
讓 $ \Omega $ 成為未來某個日期的結果空間並確定特定的結果 $ \omega \in \Omega $ . 現在考慮一個提供一個貨幣單位的投資組合，如果 $ \omega $ 發生，否則為零，即有回報 $ \mathbb{I}(\omega) $ . 任何其他收益函式都可以作為這些投資組合的線性組合給出。今天這個投資組合的價格是
$$ \begin{equation} q_\omega = E^\mathbb{Q}[\mathbb{I}(\omega)] = \mathbb{Q}[\omega] \end{equation} $$ 價格只是機率 $ \omega $ 在等價鞅測度下發生 $ \mathbb{Q}[\omega] $ . 無套利條件告訴我們價格 $ q_\omega $ 應該是唯一的，只要 $ \mathbb{I}(\omega) $ 可以複製 (FTAP1)。如果 $ \mathbb{I}(\omega) $ 可以複製所有可能的 $ \omega \in \Omega $ （完整性），那麼所有 $ \mathbb{Q}[\omega] $ 也應該是唯一的 (FTAP2)。
正如我在另一個答案中所討論的那樣，對於具有兩種可能走勢 + 和 - 的股票，我們具有市場完整性：從存在通過兩個給定點的唯一直線這一事實獲得唯一的風險中性度量.
對於具有三種可能走勢（例如 +1、0、-1）且只有一隻股票的市場，事實證明存在不止一種風險中性指標；即，市場不完整。這對應於給定平面上的三個點的事實 $ P_i(x_i,y_i) $ , $ 1\le i\le 3 $ 和 $ x_1<x_2<x_3 $ , 兩條線之間有不止一條直線
- $ \ell_{12} $ 通過 $ P_1 $ 和 $ P_2 $ ， 和
- $ \ell_{13} $ 通過 $ P_1 $ 和 $ P_3 $ .
也就是說，有很多行要經過 $ P_1 $ 但在斜率之間有一個中間斜率 $ \ell_{12} $ 和 $ \ell_{13} $ .
如果您將另一隻股票添加到市場上，據我所知，它會再次完整。
當您將連續時間和任意實數作為股價變動時，這一切都會變得更加技術化。但這仍然只是風險中性措施是否存在並且是否獨特的問題。